21-§. Algebraik tenglama va tengsizliklarni geometrik usullarni qo‘llab o‘qitish metodlari

2-masala. x, y, z, a, b, c musbat sonlari uchun quyidagi shartlar o‘rinli bo‘lsa, xy+yz+zx yig‘indining qiymatini toping.

Yechim. Bu masalani yechishda yuza formulalaridan tashqari kosinuslar teoremasidan ham foydalanamiz. Uzunliklari x, y, z ga teng uchta kesmani umumiy O nuqtaga ega va o‘zaro 120° li burchak tashkil etadigan qilib joylashtiramiz. Bu kesmalarni ikkinchi uchlarini tutashtirib ABC uchburchakni hosil kilamiz(Shu yerda har doim ham bunday uchburchak mavjudmi degan haqli savol tug‘iladi. Har bir ichki burchagi 120⁰ dan kichik bo‘lgan uchburchak ichki sohasida shunday O nuqta topiladiki, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu O nuqta Torrichelli nuqtasi deb nomlanadi). Bu uchburchakning tomonlarini mos ravishda a, b, c deb olamiz. Bu yerda a, b, c - sonlari uchburchak tengsizligini bajargan holdagina masala yechimga ega, aks holda yechimga ega bo’lmaydi. U holda, kosinuslar teoremasiga asosan x²+xy+y²=a², y²+yz+z²=b², z²+zx+x²=c² tengliklar o‘rinli bo‘ladi.

Endi hosil bo‘lgan COB, AOC va AOB yuzalarini mos ravishda S₁, S₂, S₃ desak, u holda ; ; bo‘ladi.
ekanligidan kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan S_ABC – uchburchak yuzini Geron formulasidan foydalanib topamiz: formuladan


va bundan esa ekani kelib chiqadi. Ma’lumki, masalani yechimga ega emasligini ko‘rsatsak ham masalani yechgan bo‘lamiz. Bunda uchburchak tengsizligi bajarilmasa berilgan tenglamalar sistemasi yechimga ega emas deb xulosa qilinadi.
3-masala. Agar ; va tengliklar o‘rinli bo’lsa, ifodaning qiymatini toping.
Yechim. Birinchidan, . Haqiqatdan ham, agarda x=1 yoki z=2 bo‘lsa, y=0 bo‘ladi. 1 va 0 sonlarining biron-bir juftligi shartni qanoatlantirmaydi. Ko‘rinib turibdiki, 0 va 2 sonlar juftligi munosabatni qanoatlantirmaydi.
Ikkinchidan, x>1 va z<2 sonlar uchun va shartlarni quyidagicha ko‘rinishda tasvirlab olamiz: va . endi bunga mos chizma chizib olamiz.

Uchinchidan, bu uchburchakning yuzini topish formulasiga ko‘ra quyidagi tenglikni yozamiz:

Demak, qidirilayotgan ifodaning qiymati 5 ga teng ekan.