2 мавзу. Аниқмас интеграл ва унинг хоссалари Интеграллаш усуллари

2 мавзу. АНИҚМАС ИНТЕГРАЛ
1. Аниқмас интеграл ва унинг хоссалари
2. Интеграллаш усуллари
3. Интегралларнинг баъзи турлари


1. Аниқмас интеграл ва унинг хоссалари
Маълумки, дифференциал ҳисобда берилган функциянинг ҳосиласи ёки дифференциалини топиш ҳақидаги масалалар ечилади. Баъзан амалиётда бунга тескари бўлган масалани, яъни функциянинг ҳосиласи ёки дифференциали бўйича функциянинг ўзини топишга тўғри келади. Берилган ҳосила ёки дифференциал бўйича топилган функцияни унинг бошланғич функцияси деб юритамиз.
Таъриф 1. Агар функция оралиқда дифференциалланувчи бўлиб, ҳар қандай учун шарт бажарилса, функция нинг бошланғичи дейилади.
Мисоллар келтирамиз, функция оралиқда , функция учун бошланғич функция бўлади, чунки нинг барча қийматларида тенглик ўринли бўлади. .
функция оралиқда функция учун бошланғич функция бўлади, чунки бу оралиқнинг барча қийматларида тенглик бажарилади. функция сон ўқининг барча қийматларида функция учун бошланғич функция бўлади, чунки шу оралиқда .
Берилган функцияга бошланғич функция топиш масаласи бир қийматли эмас: агар, функция берилган функция учун бошланғич функция бўлса, у ҳолда ҳам унинг бошланғич функцияси бўлади, чунки шарт бажарилади, бунда – ўзгармас сон.
Теорема. Айтайлик, функция оралиқда, функциянинг бошланғич функцияси бўлса, у ҳолда ( - қандайдир ўзгармас сон) функциялар тўплами функция учун бошланғич функция бўлади.
Шундай қилиб,агар функциянинг бошланғич функцияларидан бири бўлса, у ҳолда нинг бошланғич функциялар тўплами кўринишда бўлади.


Аниқмас интегралнинг хоссалари. оралиқдаги функциянинг барча бошланғич функциялар тўплами, функциянинг шу оралиқдаги аниқмас интеграли дейилади ва қуйидагича белгиланади.
(1)
- интеграл белгиси, –интеграл остидаги функция, – интеграл остидаги ифода, - интеграллаш ўзгарувчи деб юритилади.
Ҳосила бўйича бошланғич функцияни топиш операцияси ёки интеграл остидаги функция бўйича аниқмас интегрални топиш, бу функцияни интеграллаш дейилади. Интеграллаш амали, дифференциаллаш амалига тескари амал ҳисобланади. Интеграллаш амалини тўғрилигини текшириш учун, натижани дифференциаллаш орқали интеграл белгиси остидаги функция ҳосил қилинади.
Мисол.
1. ; текшириш .
2. ; текшириш .