2-маъруза. Интеграллаш
усуллари
Ўзгарувчини алмашти риш усули билан интеграллаш
Кўп холларда аниқмас интегрални ҳисоблаш учун ўзгарувчини янги
ўзгарувчи орқали алмаштириб жадвалдаги ёки содда усул билан бошланғич
функция топиладиган интегралга келтирилади.
Интеграллашнинг бундай
усулини ўзгарувчини алмаштириш ёки ўрнига қўйиш усули дейилади.
Ушбу
( )
f x dx
(1)
интегрални ҳисоблаш талаб этилсин. (1) да
( )
x
t
=
алмаштириш қиламиз,
бунда
( )
t
−
узлуксиз, катъий монотон ва узлуксиз
( )
'
t
−
ҳосилага эга бўлсин
функция. У ҳолда қуйидаги
( )
( ) ( )
'
f x dx
f
t
t dt
=
(2)
тенглик ўринли бўлади.
(2) формулага ўзгарувчини алмаштириш формуласи дейилади. (2)
тенгликни ўринли эканлигини исботлаш
учун унинг иккала томони
дифференциали тенг бўлишини кўрсатамиз.
(2) нинг чап томонини дифференциаллаб,
( )
( )
d f x dx
f x dx
=
(3)
тенгликни ҳосил қиламиз.
Иккинчи томондан (2)нинг ўнг томони дифференциали
( ) ( )
( ) ( )
'
'
d
f
t
t dt
f
t
t dt
=
(4)
булади. (3)да
( )
( )
'
,
x
t
dx
t dt
=
=
бўлгани учун
( )
( )
( )
( )
'
d
f x dx
f x dx
f
t
t dt
=
=
(5)
келиб чиқади. (4) ва (5) лардан
( )
( )
( )
'
d
f x dx
d f
t
t dt
=
яъни
( )
( )
( )
'
f x dx
f
t
t dt
=
тенглик ўринли бўлиши исботланади.
Айтайлик (2) нинг ўнг томонидаги
интеграл содда равишда
интеграллансин
( )
( )
( )
'
f
t
t dt
Ф t
C
=
+
( )
x
t
=
функция узлуксиз ва қатъий монотон бўлганлиги учун унга тескари
бўлган
( )
t
x
=
функция мавжуд бўлади. У вақтда
( )
( )
( )
( )
( )
'
f x dx
f
t
t dt
Ф t
C Ф
x
C
=
=
+ =
+
тенгликни ҳосил қиламиз.
1-мисол.
Ечиш
:
1
,
,
t
mx
t
x
dx
dt
m
m
=
=
=
алмаштириш қилсак, у вақтда
1
1
1
sin
sin
cos
cos
mxdx
tdt
t
C
mx
C
m
m
m
=
=
+ = −
+
бўлади. Демак:
1
sin
cos
mxdx
mx
C
m
= −
+
бўлади.
2-мисол.
(
)
99
3
2
x
dx
−
Ечиш.
Интеграл остидаги функцияни Нpютон бинони бўйича ёйиб юзта
интегрални ҳисоблаш ҳам мумкин. Бироқ
(
)
1
1
3
2,
2 ,
3
3
t
x
x
t
dx
dt
=
−
=
+
=
алмаштириш қилсак, ҳисоблаш осонлашади:
(
)
(
)
99
100
99
100
1
1
1
3
2
3
2
3
300
300
x
dx
t dt
t
C
x
C
−
=
=
+ =
−
+
3-мисол.
cos
dx
x
Ечиш
:
cos
dx
x
=
2
2
cos
cos
cos
1 sin
dx
dx
x
x
=
−
Оҳирги
интегралда
sin ,
cos
t
x
dt
dx
=
=
алмаштириш қиламиз.
Натижада
cos
dx
x
=
(
)(
)
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
dt
dt
dt
t
t
t
t
t
=
=
+
=
−
−
+
+
−
=
1
1
1
1
1
sin
1
ln
ln
2 1
2
1
2
1
2
sin
1
ln
2
4
dt
dt
t
x
C
C
t
t
t
x
x
tq
C
+
+
=
−
=
+
=
+ =
+
−
−
−
=
+
+
ҳосил бўлади. Шундай қилиб:
cos
dx
x
ln
cos
2
4
dx
x
tq
C
x
=
+
+
4-мисол
.
a
x
dx
a
x
+
−
Ечиш
:
cos 2 ,
2 sin 2
x
s
t dx
a
tdt
=
= −
алмаштириш қиламиз. У ҳолда:
C
x
tq
x
tq
A
+
+
5
3
3
1
5
1
)
C
x
tq
x
tq
B
+
+
5
3
5
1
3
1
)
C
x
tq
x
tq
C
+
+
5
3
)
C
x
tq
x
tq
D
+
+
4
2
3
1
5
1
)
C
x
tq
x
tq
E
+
+
2
3
2
1
3
1
)
4)
+
1
x
e
dx
C
e
A
x
+
−
+
1
1
ln
)
C
x
e
B
x
+
−
+
1
ln
)
C
e
e
C
x
x
+
+
+
−
+
−
1
1
1
1
ln
)
C
e
e
x
D
x
x
+
+
+
−
+
1
1
1
1
ln`
)
C
e
e
E
x
x
+
+
+
−
+
1
1
1
1
ln
)
5.
( )
( )
x
f
dx
x
f
'
( )
( )
( )
C
x
f
C
C
x
f
B
C
x
f
A
+
+
−
+
ln
)
ln
)
;
)
( )
( )
C
x
f
E
C
x
f
B
+
+
ln
2
)
1
)
4- маъруза Бўлаклаб интеграллаш
Интегралларни ҳисоблашда кучли усуллардан бири бўлаклаб интеграллаш
усулидир.
Теорема
.
Айтайлик
( )
x
U
ва
( )
x
функциялар
x
тўпламда
дифференциалланувчи ва шу тўпламда
( ) ( )
x
U
x
'
функция учун бошланғич
функция мавжуд бўлсин. У вақтда
x
тўпламда
( ) ( )
x
U
x
'
функция учун ҳам
бошланғич функция мавжуд бўлади, ҳамда
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dx
x
U
x
x
x
U
dx
x
x
U
'
'
−
−
=
(1)
формула ўринли бўлади.
Дифференциал таърифига ва унинг инвариантлик формасига асосан (1) ни
қуйидагича ёзиш мумкин:
( ) ( )
( )
dU
x
x
x
U
d
U
−
=
(2)
Исбот
. Кўпайтманинг ҳосиласига асосан:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
U
x
x
x
U
x
x
U
'
'
'
+
=
(3)
(3) тенгликнинг ҳар
иккала томонини
dx
га кўпайтириб интеграллаймиз.
Теорема шартига асосан
( ) ( )
dx
x
U
x
'
интеграл мавжуд ва
( ) ( )
( ) ( )
C
x
x
U
x
x
U
+
=
'
у ҳолда
( ) ( )
dx
x
x
U
интеграл ҳам мавжуд бўлади. Шундай қилиб (1) ёки (2)
формула ўринли.
(2) формула ёрдамида
Ud
интегрални ҳисоблаш
dU
интегрални
ҳисоблашга келтирилади. Кўп холларда охирги интеграл осон ҳисобланади.
Ушбу
Ud
интегрални (2) формула ёрдамида ҳисоблаш бўлаклаб интеграллаш дейилади.
Шу нарса аҳамиятга эгаки,қуйидаги
( )
dx
x
f
интегрални ҳисоблашда
интеграл остидаги
( )
x
f
функцияни
U
ва
UdU
Баъзи интегралларни ҳисоблашда бўлаклаб
интеграллаш форсмуласини
бир неча марта татбиқ қилишга тўғри келади.
1-мисол
arctqxdx
Ечиш:
=
+
−
=
=
=
+
=
=
=
2
2
1
,
1
,
x
xdx
arctqx
x
x
dx
d
x
dx
dU
arctqx
U
arctqxdx
( )
C
x
xarctqx
+
+
−
=
2
1
ln
2
1
