2 мавзу. Аниқмас интеграл ва унинг хоссалари Интеграллаш усуллари

Аниқмас интегралнинг асосий хоссалари.
1⁰. Аниқмас интегралдан олинган ҳосила интеграл остидаги функцияга тенг, яъни



Исбот.Тенгликни чап ва ўнг қисмларини дифференциаллаб қуйидагини ҳосил қиламиз:

2⁰ . Аниқмас интегралнинг дифференциали интеграл остидаги ифодага тенг, яъни
(2)


Исбот. Дифференциалнинг таърифига ва 1⁰ хоссага кўра

3⁰. Қандайдир функция дифференциалининг аниқмас интеграли шу функциянинг ўзи билан ўзгармас сон йиғиндисига тенг, яъни
(3)


Исбот. Қаралаётган функцияни қандайдир функциянинг бошланғич функцияси сифатида қараб, уни қуйидагича ёзиш мумкин

ва (2) га асосан, аниқмас интегралнинг дифференциали га тенг бундан
4⁰. Ўзгармас кўпайтувчини интеграл белгисидан ташқарига чиқариш мумкин, яъни
(4)
бунда – қандайдир сон.
Исбот: Бу хосса нинг ҳосиласи хоссасидан келиб чиқади:

5⁰. Иккита функция алгебраик йиғиндиларининг интеграли, шу функциялар интегралларининг алгебраик йиғиндисига тенг,

(5)
Исбот. ва функцияларни бошланғич функциялари мос равишда ва бўлса, у ҳолда улар йиғиндисининг ҳосиласи шу функциялар ҳосилалари йиғиндисига тенглиги ҳақидаги хоссадан келиб чиқади.
Интеграллаш жадвали. Қуйида келтирилган асосий аниқмас интеграллар, интеграл ҳисобнинг асосий ҳисоблаш аппаратини ташкил этади. Баъзи формулалар , интеграллаш таърифидан дифференциаллашга тескари операция сифатида бевосита келиб чиқади. Барча формулаларни тўғрилигини дифференциаллаш билан текшириш мумкин.
х суммы равна о для ческой суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций постоянного слагаемого 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Масалан, 2-тенгликни тўғрилигини текширамиз

Агар , уҳолда демак,

Агар , у ҳолда ва демак,
.
Шундай қилиб, , ва демак,

Энди 10-формулани тўғрилигини текширамиз. Аниқлик учун ҳолни текшириш билан чегараланамиз

Шундай қилиб, , шунинг учун
.
Мисол. Интегрални топинг:
а) ; б) ; в)
а) 1-формулани тадбиқ этиб қуйидагини топамиз:

б) 8-формуладан фойдаланамиз

в) 9-формуладан фойдаланиб топамиз:

.