2 мавзу. Аниқмас интеграл ва унинг хоссалари Интеграллаш усуллари

2. Интеграллаш усуллари
Бевосита интеграллаш. Интегрални хоссаларидан бевосита фойдаланиб ҳисоблаш ва энг содда интеграллар бевосита интеграллаш дейилади. .
Қандайдир функцияни аниқмас интегралини топиш учун интеграллаш жадвалидан фойдаланиш ва баъзи шакл алмаштиришларни амалга ошириш керак.
Мисол.
1. .
2.
.
Ўзгарувчиларни алмаштириш усули. Ўзгарувчиларни алмаштириш методи самарали усуллардан биридир. Бу усул қуйидаги теоремага асосланган.
Теорема. Айтайлик, функция қандайдир Т оралиқда аниқланган ва дифференциалланувчи бўлиб, функция эса тўпламда аниқланган бўлса, у ҳолда ушбу формула ўринлидир:
(6)

(6) ифода аниқмас интегралда ўзгарувчиларни алмаштириш формуласи деб юритилади.

Бунинг тадбиқини мисолларда кўрамиз.
Мисол. Интегрални ҳисобланг .
Ечиш. Янги ўзгарувчи киритамиз . У ҳолда
.
Тескари алмаштиришни бажариб, яъни ушбуни ҳосил қиламиз:
.
Мисол.
Ечиш. Ўзгарувчини алмаштирамиз , буларни берилган интегралга қўйиб қуйидагини ҳосил қиламиз:
.
Бўлаклаб интеграллаш усули. Фараз қилайлик, оралиқда ва функциялар аниқланган, дифференциалланувчи бўлиб, шу оралиқда функция бошланғич функцияга эга бўлса, у ҳолда функция ҳам оралиқда бошланғич функцияга эга бўлади, ва ушбу формула ўринлидир:
(7)
Функциянинг дифференциали кўринишини ҳисобга олиб ва , (7) тенгликни баъзан қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
(8)
(7) ёки (8) тенгликларни бўлаклаб интеграллаш формулалари деб юритилади.
Бўлаклаб интеграллашда энг қийин ҳолат интеграл остидаги ифодани танлашдан иборат, танлаш шундай бўлиш керакки, (7) тенгликнинг ўнг қисмидаги интегрални, аввалгисига нисбатан ҳисоблаш осон бўлсин. Бу маънода бўлаклаб интеграллаш методи интегрални ҳисоблашга олиб келадики, бунда у анча содда бўлади.
Мисол. Ҳисобланг .
Ечиш. Бунда . (7) формуладан

Умумий ҳолда кўринишдаги интеграллар учун (бунда - бутун сон), бўлаклаб интеграллашда: ушбу белгилаш қўлланилади .
Мисол. Ҳисобланг .
Ечиш. Бунда . (7) формуладан
.