2 мавзу. Аниқмас интеграл ва унинг хоссалари Интеграллаш усуллари

3. Интегралларнинг баъзи турлари
Рационал функцияларни интеграллари. Элементар функцияларни классификация қилишда шундай рацонал функциялар ажратиб олинадики, бунда уларни , кўринишда тасвирлаш мумкин, бу ерда ва - кўпҳадлар. Агар суратининг даражаси махражининг даражасидан кичик бўлмаса, у ҳолда бундай каср нотўғри каср бўлади, бундай ҳолда бўлиш амалини бажариб,қуйидагини ҳосил қиламиз
(9)
Бунда - қандайдир кўп ҳад, (9) ўнг қисмидаги иккинчи қўшилувчи тўғри касрни ташкил этади унинг суратидаги кўпҳаднинг даражаси махражиникидан кичик бўлади.
Дастлаб оддий ҳолни қараймиз,яъни агар:

У ҳолда (9) ушбу кўринишни олади:

Интегрални ҳисоблаб



Мисол. Интегрални ҳисобланг .
Ечиш. .
Ушбу ҳолни қараймиз

.

Ушбу алмаштиришни бажарамиз у ҳолда

Бунда шартга кўра . Ўнг томондаги интеграл бевосита (ёки ) алмаштириш билан,иккинчи интеграл эса алмаштириш ёрдамида жадвалдаги интегралга келтирилади:

Шундай қилиб, қуйидагини ҳосил қиламиз



Мисол. Ҳисобланг .


Ечиш. Бунда . Шунинг учун

белгилаймиз

.
Тригонометрик функцияларни интеграллаш. Кўп ҳолларда тригонометрик функцияларни интеграллашдан фойдаланишга тўғри келади. Айтайлик ва ўзгарувчиларнинг рационал функцияси бўлсин. У ҳолда интеграл алмаштириш билан рационал функцияли интегралга келтирилади. Ҳақиқатдан,

,

У ҳолда
(10)
Шундай қилиб, алмаштириш ёрдамида берилган интеграл t ўзгарувчи бўйича рационал функцияли интегрални топишга келтирилади
Мисол. Интегрални топинг .
Ечиш. (10) га кўра :
.
Агар ва лар R функция ифодасига фақат жуфт даражада кирса, у ҳолда алмаштиришдан фойдаланиш мақсадга мувофиқ бўлади
(11)
Мисол. Интегрални топинг
Ечиш. деб белгилаймиз.У ҳолда ва бундан

ва кўринишдаги интегралларни ҳисоблашда қуйидаги тригонометрик формулалардан фойдаланиш қулай:
,
,
.