2-Ma’ruza Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning ta’rifi, aniqlanish va qiymatlar sohasi. Xususiy va to’la orttirma. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi, xususiy hosilalari va to’la differensiali

3-Teorema (Differensiallanuvchanlikning zaruriy sharti).
Agar 
funksiyz 
nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u bu nuqtada uzluksiz 
hamdir. 
► Agar 
funksiyz 
nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, (3) 
tenglikdan 
ekanligi kelib chiqadi. Bu esa 18-Ta’rifga buvofiq, 
funksiyaning 
nuqtada uzluksiz ekanligini angalatadi.◄ 
4-Teorema. 
Agar 
funksiyz 
nuqtada differensiallanuvchi 
bo’lsa, u bu nuqtada 
va 
xususiy hosilalarga ega va
, 
(4) 
bo’ladi. 
Ikki o’zgaruvchili funksiya differensiallanuvchanligining yetarli sharti.
 
Ma’lumki 
bir o’zgaruvchili funksiyaning 
nuqtada differensiallanuvchanligining 
zaruriy va yetarli sharti bu nuqtada 
chekli hosilaning mavjudligidan iborat. 
Funksiya ikki o’zgaruvchiga bog’liq bo’lganda bunday shart yo’q. Yuqorida 
qaralgan alohida zaruriy shart va alohida yetarli shart mavjud xolos. Ikki 
o’zgaruvchili funksiya differensiallanuvchanligining yetarli sharti quyidagi 
teoremada ifodalangan. 
5-Torema.
Agar 
funksiya 
nuqtaning biror atrofida 
va 
xususiy hosilalarga ega va bu hosilalar
nuqtada uzluksiz bo’lsa, 
funksiya 
nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi. 

---

Funksiyaning to’la differensiali. 
Agar 
funksiya 
nuqtada 
differensiallanuvchi bo’lsa, uning bu nuqtadagi to’la differensialini
(5) 
ko’rinishda tasvirlash mumkinligini eslatib o’tamiz, bu yerda 
21-Ta’rif.
funksiyaning 
nuqtadagi 
to’la differensiali
deb, 
uning bu nuqtadagi to’la orttirmasining 
va 
orttirmalarga nisbatan chiziqli 
qismiga aytiladi, ya’ni 
(6) 
4-Teoremani qo’lab (6) tenglikni 
(7) 
ko’rinishda yozish mumkin. 
Erkin 
va 
o’zgaruvchilarning differensiali deb ularning orttirmalariga 
aytamiz: 
, 
. U holda funksiyaning differensiali 
(8) 
ko’rinishda bo’ladi.