1D chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli element usullari

1D chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli element usullari
Chekli element (FE) usuli muhandislikdagi murakkab muammolarni hal qilish, xususan, elliptik PDE va murakkab geometriyani o'z ichiga olgan elastiklik va strukturaviy mexanikani modellashtirish uchun ishlab chiqilgan. Ammo hozirgi kunda tadbiqlar doirasi ancha keng. Biz chekli elementlar usulini tanishtirish uchun quyidagi 1D va 2D modelli muammolardan foydalanamiz:

bu yerda Ω - (x, y) tekislikdagi ∂Ω chegarasi bilan chegaralangan soha.

6.1. 1D modeli uchun Galerkin FE usuli
Biz quyidagi qadamlarda tasvirlangan Galyorkin chekli elementlar usulidan foydalanib

1D ikki-nuqtali BVP uchun chekli elementlar usulini ko’rsatamiz.

1. 
   Diferensial tenglamaning har ikki tomonini chegaraviy shartlarni (BC) qanoatlantiruvchi test funktsiyasiga ko'paytirish orqali variatsion yoki kuchsiz formulani tuzing.
   

va 0 dan 1 gacha integrallab (bo`laklab integrallashdan foydalanib) quyidagiga ega bo`lamiz,

2. 
   To`rni generatsiya qilish, masalan, bir jinsli Dekart to`ri bunda intervallarni aniqlash.
   
3. 
   To`rga asoslangan baziz funksiyalar to`plamini qurish, bo`lakli chiziqli funksiyalardek
   

ko'pincha shapkacha funktsiyalari deb ataladi, shapkacha funktsiyasi uchun to'g'ri diagramaga qarang.

4. 
   Taqribiy (FE) yechimni bazis funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi bilan ifodalang
   

bu yerda c_j koeffitsientlari aniqlanadigan noma'lumlar. Shapkacha basis funksiyalarni olsak, ham bo`lakli chiziqli funksiya bo`ladi, garchi u $u(x)$ ning aniq yechimi uchun bunday bo'lmasa ham. Boshqa basis funksiyalar keyinroq ko'rib chiqiladi. Keyin biz kuchsiz formadagi $u (x)$ aniq yechimini $u_h (x)$ taqribiy yechim bilan almashtirish orqali koeffitsientlar uchun chiziqli tenglamalar sistemasini olamiz, ya’ni,

Keyin, $\nu(x)$ test funksiyani ketma-ket dek tanlab, chiziqli tenglamalar sistemasini olamiz (qo'shimcha xatoliklarga yo'l qo'yilganligini ta'kidlab).

yoki matritsa-vektor shaklida:

Bunda

$a(u,\nu)$ termini bilinear forma deb ataladi, chunki u har bir o'zgaruvchiga (funktsiyaga) chiziqli, va $(f,\nu)$ chiziqli forma deyiladi. Agar $\fa_i$ shapkacha funksiyasi bo`lsa, u holda xususan

ni olamiz.

5. 
   Koeffitsientlar uchun chiziqli tenglamalar sistemasini yeching va taqribiy yechimni oling.
   
6. 
   Xatoliklar tahlilini o'tkazing (priori yoki posteriori xatolik tahlili).
   

Qanday qilib to'g'ri tanlash kerakligi haqida savollar tug'iladi

• ODE yoki PDE muammolarini kuchsiz shaklda ifodalash;
• bazis funktsiyalarini tanlang, masalan, ODE/PDE, to'r va chegara shartlarini hisobga olgan holda;
• chekli elementlar usulini joriy etish;
• chiziqli tenglamalar sistemasini yechish; va
• xatoliklar tahlilini o'tkazing,
ular keyingi boblarda ko'rib chiqiladi.

2.