1D chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli element usullari

1D modeli uchun turli matematik formulalar

Keling, yana 1D modelini ko'rib chiqaylik,

Bu masalani ko'rib chiqish uchun kamida uch xil formulalar mavjud:
1. (D) forma, original differensial tenglama;
2. (V) forma, variatsion forma yoki kuchsiz forma

har qanday sinov funktsiyasi uchun , funktsiyalar uchun C¹ fazosi kabi integral formadagi funktsiyalar uchun Sobolev fazosi (keyinroq qaraladi) va yuqorida ko'rsatilganidek, mos keladigan chekli elementlar usuli ko'pincha Galerkin usuli deb ataladi; va
6.1 -rasm. Ikki uchi mahkamlangan elastik ipning diagrammasi: siljish va kuch.
3. (M) forma, minimallashtirish formasi

mos keladigan chekli elementlar usuli ko'pincha Ritz deb ataladigan usul.
Keyingi bo'limlarda muhokama qilinganidek, ba'zi farazlarga ko'ra, bu uch xil formulalar ekvivalentdir.
6.2.1 Fizik misol
Matematik modellashtirish nuqtai nazaridan, variatsion (yoki kuchsiz) forma ham, minimallashtirish fromasi ham differensial formuladan ko'ra tabiiyroqdir. Misol uchun, biz ikki uchi mahkamlangan va tashqi kuch ta'sirida, birlik uzunlikdagi elastik ipning muvozanat holatini qidiramiz.
Muvozanat - bu umumiy energiyani kamaytiradigan holat. U (x) ipning x nuqtasidagi joy almashinuvi bo'lsin va (x, x + ∆x) oralig'idagi ip elementining deformatsiyasini ko'rib chiqaylik (ko’rinish uchun 6.1 -rasmga qarang). Deformatsiyalangan elementning potentsial energiyasi
· element uzunligining oshishi

bu yerda - biz doimiy deb hisoblaydigan elastik kuchlanish koeffitsienti.
Agar tashqi kuch f (x) bilan belgilansa, bu kuch bajargan ish har bir x nuqtada -f (x) u (x). Natijada, ipning umumiy energiyasi (tugadi 0
Ish -energiya printsipidan: ob'ektning kinetik energiyasining o'zgarishi ob'ekt ustida bajarilgan aniq ish bilan tengdir. Shunday qilib, umumiy energiyani minimallashtirish uchun biz ekstremal u^∗ ni qidiramiz

barcha ruxsat etilgan u (x) uchun, ya'ni F (u) funktsionalning(funksiyalarning funksiyasi) u^* minimallashtiruvchisi.
Virtual ish printsipidan foydalanib, shuningdek bizda quyidagi bor

barcha mumkin bo’lgan v(x) funksiyalar uchun.
Boshqa tomondan, kuch balansi tegishli differentsial tenglamani beradi. Tashqi kuch f (x) Guk qonunida berilgan elastik ipning tarangligi bilan muvozanatlanadi, tasvirlash uchun 6.1 -rasmga qarang.


Shunday qilib, ∆x → 0 uchun biz PDEni olamiz

u (0) =0 va u (1) = 0 chegara shartlari bilan bir qatorda, ip ikki uchi mahkamlangan.
Uchta formulalar bir xil muammoning ekvivalent ifodasidir. Biz keyingi bo'limda matematik ekvivalentlikni ko'rsatamiz.