1D chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli element usullari

6.2.2 Mathematik ekvivalentlik
Ushbu bobning boshida biz bo`laklab integrallashdan foydalanib (D)ni (V) ga ekvivalent ekanligini isbotladik. Keling, ma'lum sharoitlarda (V) (D) ga ekvivalent ekanligini, va (V) (M) ga ekvivalentligini, va (M) ekvivalent (V) ekanligini isbotlaylik.
Teorema 6.1. Agar u<sub>xx</sub> mavjud va uzluksiz bo`lsa, u holda

shuni nazarda tutadi
Eslatib o'tamiz, H¹ (0, 1) Sobolev fazosini bildiradi, bu yerda biz birinchi darajali hosilaga ega bo'lgan barcha funksiyalar fazosi sifatida qaray olamiz.
Isbot: Bo`laklab integrallashdan bizda quyidagini olamiz

ixtiyoriy va uzluksiz, va uzluksiz bo'lgani uchun bizda bo'lishi kerak

Teorema 6.2. Faraz qilaylik qanoatlantirsin

barcha , va lar uchun. U holda

Isbot:

Isbot tugadi.
Teorema 6.3. Agar bu ni minimallashtiruvchisi bo`lsa, u holda

barcha , va lar uchun.
Isbot: Yordamchi funksiyani ko'rib chiqamiz:

Ixtiyoriy lar uchun local yoki global minimum dek. ning hosilasini olish uchun, bizda
bor.
Shunday qilib

Va

yordamchi funksiya bo’lgani uchun, ya’ni, kuchsiz forma qanoatlantiriladi.
Biroq, yechimlarning regulyarligiga bog`liq ravishda, uch xil formulalar ba'zi muammolar uchun ekvivalent bo'lmasligi mumkin. Shunday qilib, garchi

(V) (M) ni anglatishi uchun va (M) yoki (V) (D) ni anglatishi uchun, odatda, differensial tenglama self-adjoint bo'lishi kerak; differensial tenglamaning yechimi uzluksiz ikkinchi tartibli hosilalarga ega bo'lishi kerak.
6.3. 1D modeli uchun FE usulining asosiy komponentlari
Ushbu bo'limda biz (6.1) model masalasini quyidagi usullar yordamida muhokama qilamiz:
• variatsion yoki kuchsiz formulalar uchun Galerkin usuli;
• minimallashtirish formulasi uchun Ritz usuli.
Biz, shuningdek, chekli element usullarining yana bir muhim jihatini muhokama qilamiz, ya'ni qattiqlik matritsasini elementlar bo'yicha yondashuv yordamida yig'ish.
Birinchi qadam, odatda, kuchsiz formani tanlashdir, deylik Sobolev fazosida ixtiyoriy va uchun.