13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

24.1-Xulosa . Har bir
( ) (24.1)
gorizontal yo’lak funksiya orqali bo’lganda
(24.2)
burchakka bir yaproqli va konform akslanadi. Agar bo’lsa, u holda (24.1) yo’lak
(24.3)
halqaga akslanadi, lekin konformlik buziladi, chunki bu holda akslantirish (24.1) yo’laklarda bir yaproqli emas.
Teskari akslantirish (24.2) burchakni (24.1) yo’laklarning biriga konform akslantiradi. Bu yerda soni funksiyaning (24.2) burchakda tanlanadigan regulyar tarmog’idan bog’liq.
Endi funksiyaning akslantirish xossalarini tekshirishni davom ettirish uchun vertikal to’g’ri chiziqlar oilasini olamiz. Uning akslantirishdagi aksi chiziqdan, ya’ni cheksiz marta o’tiladigan markazi nuqtadan, radiusi dan iborat aylanadan iborat. Har bir uzunligi ga teng kesmada ning o’zgarishiga bir marta o’tiladigan to’la aylana mos keladi. Agar bu to’g’ri chiziqni vaziyatdan vaziyatgacha ( ) o’ng tomonga uzliksiz siljitsak, u holda tekisligida vertikal yo’lak hosil bo’lib, uning tekisligidagi aksi cheksiz marta o’tiladigan halqadan iborat bo’ladi.
Gorizontal va vertikal yo’laklar kesishganda tekisligida to’g’ri to’rtburchakni hosil qiladi. Uning akslantirishdagi aksi tekisligida burchak va halqaning kesishmasidan, ya’ni halqali sektordan iborat bo’ladi.
24.2-Xulosa. funksiya ixtiyoriy butun son uchun
(24.4)
to’rtburchakni bo’lganda
(24.5)
doiraviy sektorga bir yaproqli va konform akslantiradi.
Teskari funksiya (24.5) doiraviy sektorni (24.4) to’rtburchaklarning biriga bir yaproqli va konform akslantiradi.

24.2. Jukovskiy va unga teskari funksiyalar orqali akslantirishlar.

Ushbu
(24.6)
funksiya Jukovskiy funksiyasi deyiladi. Unga teskari funksiya
(24.7)
dan iborat.

bo’lganligi uchun bu funksiya nuqtalardan tashqari kompleks tekislikning barcha nuqtalarida regulyar va - jins konform akslantirishdan iborat. Bu funksiyaning akslantirishga doir xossalarini tekshirish uchun quyidagi chiziqlar oilasini qaraymiz:
1) - markazi nuqtada va radiusi r bo’lgan aylanalar oilasi.
2) - nuqtadan chiquvchi nurlar oilasi.
aylana , parametrik tenglamaga ega. Jukovskiy funksiyasi uni chiziqqa akslantiradi. Uning parametric tenglamasi
(24.8)
yoki oshkor tenglamasi ko’rinishga ega, bu yerda
(24.9)
Demak, akslantirish natijasida chiziqning aksi fokuslari , nuqtalardan va yarim o’qlari dan iborat ellipsdir.

24.2-chizma

Agar bo’lsa, u holda ellips soat strelkasi yo’nalishida, bo’lsa, u holda ellips soat strelkasiga teskari yo’nalishda chiziladi. Agar bo’lsa, u holda (24.8) dan bo’lib, dan gacha o’zgarsa, u holda nuqtalar tekisligida ikki marta har xil yo’nalishda o’tiladigan kesmani, ya’ni kesmani chizadi.

Agar ni dan gacha uzluksiz o’zgartirsak, u holda tekisligida hosil bo’ladigan ellipslar uzluksiz ravishda kengayib, cheksizga intiladi, chunki mos ravishda dan gacha va dan gacha uzluksiz o’sadi. Natijada tekisligida kesimning tashqarisi hosil bo’ladi. Ya’ni Jukovskiy funksiyasi aylana tashqarisini kesim tashqarisiga akslantiradi. Endi bu akslantirishning bir yaproqliligini tekshiramiz. va nuqtalarda Jukovskiy funksiyasi bir xil qiymat qabul qiladi. Agar (24.7) teskari funksiyaning ikki qiymatli ekanligini nazarga olsak, tekislikning har bir nuqtasiga (24.7) akslantirish faqat va faqat va nuqtalarni mos qo’yadi. Bu yerdan Jukovskiy funksiyasining biror sohada bir yaproqli bo’lishi uchun soha va akslantirishdagi uning aksi bir- biri bilan kesishmasligi zarur va yetarlidir. 24.3-Xulosa. Jukovskiy funksiyasi va sohalarni kesmaning tashqarisiga bir yaproqli va konform akslantiradi.
Endi nuqtadan chiquvchi nurlarning aksini topamiz. Ularning parametrik tenglamasi yoki dan iborat. (24.8) dan ko’rinadiki, bu nurlarning aksi


(24.10)
tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni fokuslari va dan iborat giperbola shoxlarining biridan iboratdir.

24.3-chizma

Agar bo’lsa, u holda (24.8) dan ni hosil qilamizki, bu kesimni ifodalaydi. Agar bo’lsa, u holda (24.8) dan ni olamiz, bu mavhum o’qni ifodalaydi. Agar bo’lsa, u holda (8) dan kelib chiqadi va bu kesimdan iborat.

24.4-Xulosa. Jukovskiy funksiyasi quyidagi bir yaproqli va konform akslantirishlarni amalga oshiradi:

1. 
   birlik doirani [-1,1] kesim tashqarisiga, ya’ni ga;
   

2) yuqori yarim tekislik ni ga, ya’ni kesimning tashqarisiga;

3. 
   birlik yarim doira , ni - quyi yarim tekislikka, chunki
   
4. 
   bu yerda tekislikdagi sohalarni saqlagan holda tekislikdagi sohalarni ularning funksiyasi orqali akslantirishdagi akslari bilan almashtirish mumkin.