13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

22.2-Teorema (Riman teoremasi). Chegarasi bittadan ortiq nuqtalardan tashkil topgan har qanday bir bog’lmli sohani doiraga konform akslantiruvchi meromorf funksiya mavjud bo’lib, u ( - sohaning ixtiyoriy nuqtasi, ixtiyoriy haqiqiy son) shartlar yordamida yagona aniqlanadi.


13.9- ma’ruza bo’yicha o’z-o’zini tekshirish savollari
1.Hosila argumentining geometric ma’nosi nimadan iborat?
2.Hosila modulining geometric ma’nosi nima?
3.Qachon akslantirish nuqtada (sohada) konform akslantirish deyiladi?
4.Konform akslantirish qanaqa turlarga ega?
5.Qanaqa funksiyalar 1- tur va 2- tur konform akslantirishlarning umumiy ko’rinishiga misol bo’la oladi?

1. 
   Kasr- chiziqli akslantirish va uning asosiy xossalari.
   

Kasr- chiziqli akslantirishning umumiy shakli
(23.1)
ko’rinishda bo’lib, unda kompleks sonlar, Agar bo’lsa, u holda - o’zgarmas bo’ladi. Kasr- chiziqli akslantirishning asosiy xossalari quyidagilardan iborat.
23.1-xossa. (23.1) Kasr - chiziqli akslantirish butun kengaytirlgan kompleks tekislikni o’zini o’ziga konform va bir yaproqli akslantiradi.
Isbot. dan bo’lganda hosilaning mavjudligini olamiz. Demak, akslantirish barcha chekli nuqtalarda birinchi tur konform akslantirish bo’ladi. Ravshanki,
va .
funksiyani va nuqtalarda quyidagicha aniqlaymiz: va tenglamadan teskari funksiyani topamiz:

Avval faraz qilamizki, va u holda Yuqoridagidek, va
Shunday qilib, teskari finksiya ham kasr - chiziqli bo’lganligi uchun funksiya kengaytirilgan kompleks tekislikni o’zini o’ziga o’zaro bir qiymatli akslantiradi. va nuqtalarda funksiyaning konformligini tekshirish mumkin bo’lishi uchun uchi cheksiz uzoqlashgan nuqtadagi burchak tushunchasini kiritish kerak.

23.3. Uchi cheksiz uzoqlashgan nuqtadagi burchak tushunchasi.

Buning uchun faraz qilamizki, va - ikki koordinatalar boshidan o’tuvchi chiziqlar bo’lib, burchakni tashkil qilsin. funksiya yordamida tekislikni o’zini o’ziga akslantiramiz. U holda va chiziqlar umumlashgan ma’noda uzluksiz va chiziqlarga akslanadilarki, bu chiziqlar nuqtadan o’tadilar. va chiziqlar nuqtada burchak tashkil qiladi deb aytamiz. Masalan, bu ta’rifga muvofiq haqiqiy va mavhum o’qlar da burchakni tashkil qiladi. Umuman, nuqtadan o’tuvchi ixtiyoriy ikki va chiziqlar shu nuqtada ularning akslantirishdagi akslari va lar koordinatalar boshida qanday burchak hosil qilsa shunday burchak tashkil qiladi deb aytiladi.
Endi 23.1 – xossaning isbotini davom ettiramiz.
Faraz qilaylik, ikki va chiziqlar uchi nuqtada bo’lgan burchakni tashkil qilsin. bo’lganligi uchun ularning aksi va chiziqlar nuqtadan o’tadi. Ta’rifga ko’ra ular orasidagi burchak akslantirishdagi ularning akslari va koordinatalar boshida tashkil qilgan burchakka teng. Ravshanki, va chiziqlar va chiziqlarning natijaviy funksiya orqali akslantirishdagi akslaridan iborat. Lekin, oxirgi akslantirish kasr- chiziqli bo’lib, nuqtada ( bu nuqtaning aksi dir) konformdir. Demak, va chiziqlar nuqtada burchak, ya’ni va chiziqlar nuqtada burchakni tashkil qiladi. Shunday qilib, biz funksiyaning nuqtada konform ekanligini ko’rsatdik. Bu xulosa nuqtada teskari funksiya uchun o’rinlidir, ya’ni akslantirish ham nuqtada konformdir. Demak, har bir kasr-chiziqli ( ) funksiya kengaytirilgan kompleks tekislikni o’zini o’ziga bir yaproqli va konform akslantiradi. Bu xulosa chiziqli akslantirish uchun ham o’rinlidir, lekin yagona farqi shundaki, cheksiz uzoqlashgan nuqta o’ziga o’tadi.