13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

25.3.Elementar funksiyalar orqali akslantirishlarning sohalarni konform akslantirishda qo’llanilishi. Agar bizdan berilgan bir sohani berilgan boshqa biror sohaga conform akslantirish talab qilinsa, u holda biz taxminan aniqmas integralni topish kabi ish yuritamiz. Yuqorida (25.2-qismda) bayon qilingan akslantirishlar taxminan integrallash jarayonida jadval integrallarni o’ynaydigan rolni bajaradi.
Keltirilgan g’oyani tasdiqlash uchun misollar yechamiz.
Misol yechishni eng soda sohalarni bir – biriga konform akslantirishni topishdan boshlaymiz.
25.2-misol. Yuqori yarim tekislikni birlik doiraga konform akslantirishning ko’rinishi topilsin.
Yechish. Yuqori yarim tekislikning doiraning markazi nuqtaga o’tadigan biror a nuqtasini qayd qilamiz. Kasr – chiziqli akslantirishning xossasiga ko’ra bu akslantirishda a nuqtaga haqiqiy o’qqa nisbatan simmetrik nuqta nuqtaga birlik aylana ga nisbatan simmetrik nuqtaga o’tishi kerak. Shuning uchun izlanayotgan akslantirish

ko’rinishga ega bo’lishi lozim, bu yerda k- o’zgarmas ko’paytuvchi. Kasr- chiziqli akslantirishning doiraviy xossasiga binoan ixtiyoriy k uchun bu funksiya ni biror doiraga akslantiradi, chunki nuqta nuqtaga biror aylanaga nisbatan simmetrik bo’lishi shart. Endi k ni shunday tanlaymizki, bo’lsin. Buning uchun nuqtaning aylananing biror nuqtasiga o’tishini talab qilish kifoya: . Demak, va
(25.1)
bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son, qo’yilgan masalaning yechimi bo’ladi. Riman teoremasiga ko’ra va bo’lganligi uchun qo’yilgan masalaning yechimi faqat (25.1) ko’rinishga ega bo’ladi.
25.2-misol. Birlik doirani birlik doiraga konform akslantirishning ko’rinishi topilsin.
Yechish. doiraning doira markaziga o’tadigan biror a nuqtasini tanlaymiz. Kasr – chiziqli akslantirishning xossasiga ko’ra bunday akslantirishda a nuqtaga birlik aylanaga nisbatan simmetrik nuqta a ga mos nuqtaga birlik aylanaga nisbatan simmetrik nuqtaga o’tishi kerak. Demak, izlanayotgan akslantirish



bu yerda va qandaydir o’zgarmaslardan iborat. ni shunday tanlaymizki, doiraning aksi yana doira bo’lsin. Buning uchun nuqtaning aylananing biror nuqtasiga o’tishini talab qilish kifoya:

Bu yerdan ekanligi va masalaning yechimi
(25.2)
ko’rinishga ega ekanligi kelib chiqadi, bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son.
Riman teoremasi yordamida, 25.1- misoldagidek, izlanayotgan akslantirish faqat (25.2) ko’rinishga ega bo’lishiga ishonch hosil qilish mumkin.
25.3-misol. Vertikal yo’lakni birlik doiraga chegaraviy va nuqtalarni chegaraviy va nuqtalarga o’tkazadigan konform akslantirish topilsin.