13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

16.2.Koshi tengsizligi (darajali qator koeffisentlari uchun).
16.2-Teorema. Agar
(16.5) darajali qator doirada yaqinlashib, unda tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda
(16.6) Koshi tengsizligi o’rinli bo’ladi.
Isbot.Darajali (16.1) qator koeffisentlari uchun (16.22) integral formulalardan foydalansak,
.
Bu koeffisentlarni baholab, ni olamiz.
Oxirgi tengsizlik ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lganligidan unda da limitga o’tsak,

ga ega bo’lamiz. Koshi tengsizligi, ya’ni 16.2-teorema isbot bo’ldi.
Shunday qilib, sohada (nuqtada) analitik va regulyarlik tushunchalari o’zaro ekvivalent ekan.
16.3.Yagonalik teoremasi. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi kursining eng muhim teoremalaridan biri analitik funksiyalarning yagonalik teoremasidir.
16.3-Teorema. Agar funksiya biror sohada analitik bo’lib, limitik nuqtaga ega biror ketma-ketlikda bo’lsa, u holda sohada .
16.1-Misol. .Bu funksiya sohada analitik, da
.
Lekin .Nima uchun yagonalik teoremasi o’rinli emas? Buning sababi shundan iboratki, kema-ketlikning limitik nuqtasi .
16.4.Analitik davom ettirish prinsipi.
16.2-Ta’rif. Agar D biror soha, biror to’plam bo’lsin. Agar
1) funksiya E da aniqlangan,
2) funksiya D sohada analitik,
3) E da F(z)=f(z) bo’lsa, u holda F(z) funksiya f(z) funksiyaning E to’plamdan D sohaga analitik davomi deyiladi.
Quyidagi analitik davom prinsipi o’rinlidir: agar E to’plam D sohada yotuvchi hech bo’lmaganda bitta limitik nuqtaga ega bo’lsa, u holda f(z) funksiyaning E to’plamdan D sohaga analitik davomi bittadan ortiq bo’la olmaydi.
Bu prinsip yagonalik teoremasidan bevosita kelib chiqadi. haqiqatan ham, agar analitik davomni ikkita va deb faraz qilsak, u holda deb belgilab, E to’plamda bo’lganligi uchun yagonalik teoremasiga ko’ra D da , ya’ni ni olamiz.
16.4. Regulyar funksiyalarning yakkalangan maxsus nuqtalari va ularning xillari.
17.1-Ta’rif. Agar funksiya biror halqaga regulyar bo’lib, nuqtada aniqlanmagan bo’lsa, u holda nuqta funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi.
funksiyaning nuqta atrofidagi xarakteriga qarab yakkalangan maxsus nuqtalar uch xilga ajraladi.
. Agar bo’lsa, u holda yakkalangan maxsus nuqta yuqotilib bo’ladigan (yoki bartaraf qilinadigan) maxsus nuqta deyiladi. Bu holda, agar deb olsak, bu funksiya nuqtada ham regulyar bo’ladi. Haqiqatan ham, bu holda shart nuqta atrofida bajariladi va shuning uchun funksiyani nuqtaga analitik davom ettirish mumkin.
Agar bo’lsa, u holda yakkalangan maxsus nuqta qutb maxsus nuqta deb aytiladi.
Agar mavjud bo’lmasa, u holda yakkalangan maxsus nuqta muhim maxsus nuqta deyiladi.
17.2-Ta’rif. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida ifodalanib, bu yerda nuqtada regulyar va bo’lsa, u holda nuqta funksiya uchun n-tartibli nol deyiladi.
17.3-Ta’rif. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida ifodalanib, bunda nuqtada regulyar va bo’lsa, u holda nuqta funksiyaning n-tartibli noli deyiladi.
17.4-Ta’rif. funksiyaning nuqtadagi nolining tartibiga funksiyaning nuqtadagi qutbining tartibi deyiladi.
Birinchi tartibli nol yoki qutb oddiy nol yoki qutb deyiladi.Agar bo’ib, funksiya shu nuqtada regulyar bo’lsa, u holda n-tartibli nolning quyidagi alomati o’rinli: nuqtaning funksiya uchun n-tartibli nol bo’lishligining zaruriy va yetarli sharti

munosabatdan iborat.
17.1-Lemma. Agar va funksiyalar nuqtada regulyar bo’lsa, u holda funksiya shu nuqtada yo regulyar yoki nuqta bu nisbat uchun qutb maxsus nuqta bo’ladi (Isbotlang!).