1-misol to‘plam sifatida

Normal fazolar.
Bizga topologik fazo berilgan bo’lsin.
2.1.6.Ta’rif. Agar o’zaro kesishmaydigan yopiq to’plamlar o’zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo’lsa, u holda topologik fazoga -aksiomani qanoatlantiradi deyiladi.
Agar topologik fazo bir vaqtda va aksiomalarni qanoatlantirsa, u holda bunday fazolarga normal yoki -fazolar deyiladi.
Har qanday normal fazo regulyar fazo bo’lishini osongina isbotlash mumkin.
2.1.4. Izoh. Shunday regulyar fazo mavjudki, u normal fazo bo’lmaydi.
2.1.4.Misol. To’g’ri chiziqda yarim intervalni qaraylik. da quyidagi topologiyani kiritamiz: barcha , , ko’rinishdagi yarim intervallar bazis tashkil qiladi. Hosil bo’lgan topologik fazoga Aleksandrovning bir strelkasi deyiladi va uni ko’rinishda belgilaniladi.
Avalo fazoning aksiomani bajarilishini tekshiramiz. Buning uchun fazodan ixtiyoriy ikkita turli nuqtalarni olamiz. Atrof sifatida olsak, u holda bu ochiq to’plamlar kesishmaydi.
fazoning regulyar ekanligini isbotlaymiz. ko’rinishdagi barcha yarim intervallar bir vaqtda ham ochiq, ham yopiq to’plam ekanligidan bu fazoning regulyar ekanligini kelib chiqadi.
Kvadratning normal fazo emasligini isbot qilamiz. Bu kvadratda ikkinchi diagonaldagi nuqtalarni bilan belgilaymiz. ko’rinishdagi barcha to’g’ri to’rtburchaklar ko’rinishdagi nuqtalarning atroflari bo’ladi. to’plamdagi barcha nuqtalar yakkalangan, ya’ni to’plam ko’paytmaning diskret fazo ostisi bo’ladi. Shuning uchun dagi har qanday to’plam osti da yopiq bo’ladi.
bilan dagi , - ko’rinishdagi barcha ratsional sonlar to’plamini, bilan esa barcha irratsional sonlar to’plamini belgilaymiz. va to’plamlar ko’paytmada yopiq bo’lib, ular o’zaro kesishmaydilar. Agar bu piq to’plamlarning ixtiyoriy va atroflarini qarasak, u holda bu atroflar kesishadi. Demak, ko’paytma normal emas ekan.