1-misol to‘plam sifatida

Regulyar fazolar.
Bizga topologik fazo berilgan bo’lsin.
2.1.4.Ta’rif. Agar ixtiyoriy nuqta va bu nuqtani o’z ichiga olmaydigan ixtiyoriy yopiq to’plam uchun shunday va atroflari topilib,

shartlar bajarilsa, u holda - topologik fazoga ajrimlilikning uchinchi aksiomasini yoki - aksiomani qanoatlantiradi deyiladi.
Bir vaqtda i aksiomalarni qanoatlantiruchi topologik fazolarga regulyar fazolar deyiladi.
Barcha regulyar fazolarning xausdorf fazo bo’lishini osongina isbotlash mumkin.
2.1.3.Izoh. Shunday xausdorf fazosi mavjudki, u regulyar fazo emas.
- haqiqiy sonlar o’qida quyidagi topologiyani kiritamiz. nuqtalarda tabiiy topologiya bo’lsin, ya’ni nuqtaning atrofi sifatida - ochiq interval olamiz, bunda - natural son. nuqtaning atrofi sifatida ixtiyoriy ko’rinishdagi ochiq intervaldan ko’rinishdagi sonlarni chiqarib tashlangandan qolgan to’plam tushuniladi, bunda - natural sonlar. Osongina tekshirish mumkinki, haqiqiy sonlar to’plami bu topologiya bilan topologik fazoga aylanadi va uning xausdorf fazosi bo’lishini osongina tekshirish mumkin. to’plam yuqorida aniqlangan topologiya bilan yopiq to’plam bo’ladi va u nuqtani o’z ichiga olmaydi.
Biz yopiq - to’plamning ixtiyoriy ochiq atrofini qarasak, u holda bu atrof nuqtani o’z ichiga oladi. Demak, haqiqiy sonlar to’plami yuqorida kiritilgan topologiya bilan regulyar fazo emas ekan.
2.1.1.Teorema. topologik fazo regulyar bo’lishi uchun ixtiyoriy nuqta va uning ixtiyoriy atrofi uchun shunday atrof topilib, shartning bajarilishi zarur va etarlidir.
Isboti. Zarurligi. topologik fazo regulyar bo’lsin va esa uning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Bu nuqtaning ixtiyoriy atrofini qaraylik. U holda - yopiq to’plam bo’ladi va nuqtani o’z ichiga olmaydi. topologik fazoning regulyarligidan nuqtaning shunday atrofi va - yopiq to’plamning shunday atrofi topilib, shart bajariladi. U holda bo’ladi va to’plamning yopiqligidan o’rinli bo’ladi.
Yetarliligi. Bizga ixtiyoriy nuqta va ixtiyoriy yopiq to’plam berilgan bo’lsin. to’plam nuqtaning atrofi bo’ladi. Shartga asosan shunday atrof topilib, shart bajariladi. Bundan ochiq to’plam yopiq to’plamning atrofi bo’ladi va shart bajariladi. Demak, topologik fazo regulyar fazo ekan. 2.1.1 teorema isbotlandi.