1-misol to‘plam sifatida

Ajrimlilikning birinchi aksiomasi
Bizga topologik fazo berilgan bo’lsin.
2.1.2.Ta’rif. Ixtiyoriy ikkita turli va nuqtalar uchun nuqtaning shunday atrofi topilib, nuqtani o’z ichiga olmaydi, va nuqtaning shunday atrofi topilib nuqtani o’z ichiga olmasa, bunday fazolarga ajrimlilikning birinchi aksiomasini qanoatlantiruvchi topologik fazolar yoki -fazolar deyiladi.
Barcha -fazolarning -fazo bo’lishini osongina isbotlash mumkin.
2.1.1.Tasdiq. - topologik fazo ajrimlilikning birinchi aksiomasini qanoatlantirishi uchun bu fazodagi bir nuqtali to’plamning yopiq bo’lishi zarur va etarlidir.
Isboti. a) topologik fazo ajrimlilikning birinchi aksiomasini qanoatlantirsin. Bu fazodan ixtiyoriy nuqtani olaylik. Biz nuqtaning yopiqligini ko’rsatish uchun, to’plamning topologik fazoda ochiqligini ko’rsatish etarli. Buning uchun to’plamdan ixtiyoriy nuqtani olaylik, ya’ni bo’lsin. topologik fazo -aksiomani qanoatlantirgani uchun nuqtaning shunday atrofi topilib, nuqtani o’z ichiga olmaydi, ya’ni . Bundan esa to’plamning ochiqligi kelib chiqadi. Demak, to’plam topologik fazoda yopiq ekan.
b) Aytaylik, topologik fazoda har qanday bir nuqtali to’plam yopiq bo’lsin. topologik fazoning ixtiyoriy ikkita turli va nuqtalarini qaraylik. U holda va to’plamlar topologik fazoda yopiq bo’ladi. Bu esa va to’plamlarning ochiqligini bildiradi. Bundan va kelib chiqadi. U holda va nuqtalarning shunday va atroflari topilib, va shartlar bajariladi. Bundan topologik fazo ajrimlilikning birinchi aksiomasini qanoatlantirishi kelib chiqadi. 2.1.1 tasdiq isbotlandi.