1-misol to‘plam sifatida

Masalalar. 1) - barcha natural sonlar to’plami to’g’ri chiziqda hech qaerida zich emas. Haqiqatan ham, va .
2) - barcha butun sonlar to’plami to’g’ri chiziqda hech qaerida zich emas. Haqiqatan ham, va .
4.1.Masala. Ixtiyoriy - diskret fazo va - ixtiyoriy topologik fazolar berilgan bo’lsin. U holda ixtiyoriy akslantirish uzluksiz bo’ladi.
Haqiqatan, ham ixtiyoriy akslantirish berilgan bo’lsin. - topologik fazodan ixtiyoriy - ochiq to’plamni olaylik. Bu to’plamning proobrazini qaraylik. Bizga ma’lumki, diskret fazoning ixtiyoriy qismi ham ochiq, ham yopiq to’plam bo’ladi. - diskret fazo bo’lganligidan to’plam ochiq-yopiq to’plam bo’ladi, 4.1 5) teoremaga asosan - akslantirish uzluksiz bo’ladi.
4.2.Masala. Ixtiyoriy - topologik fazo va - antidiskret fazolar berilgan bo’lsin. U holda ixtiyoriy akslantirish uzluksiz bo’ladi.
topologik fazodagi antidiskret topologiya quyidagicha aniqlanar edi. Bo’sh to’plam va butun fazodan tashkil topgan topologiya, ya’ni . Biz antidiskret fazodan ixtiyoriy ochiq to’plamni olaylik. Bunda yoki bo’ladi. Bu to’plamlarning proobrazlarini olaylik, ya’ni va . Bu ikki va to’plamlar - topologik fazoda ochiq to’plamlar, shuning uchun akslantirish uzluksiz bo’ladi.
4.3.Masala. Quyidagi Direxle funktsiyasini qaraylik:

bunda - to’g’ri chiziqdagi barcha ratsional sonlar to’plami, - to’g’ri chiziqdagi barcha irratsional sonlar to’plami. Bu funktsiya uzluksiz funktsiya emas.
Haqiqatan ham, va nuqtalar to’g’ri chiziqda yopiq to’plamlar bo’ladi. Bu nuqtalarning proobrazlari to’g’ri chiziqdagi barcha ratsional va barcha irratsional sonlar to’plamidan iborat bo’ladi. Bizga ma’lumki to’g’ri chiziqdagi barcha ratsional va barcha irratsional sonlar to’plami ochiq to’plam ham emas, yopiq to’plam ham emas. Demak, Direxle funktsiyasi uzluksiz emas ekan.