1-misol to‘plam sifatida

4.4.Masala. to’plamda ikkita va topologiyalar aniqlangan bo’lsin. Ayniy akslantirish uzluksiz bo’lishi uchun topologiyaning topologiyadan kuchli bo’lishi zarur va etarlidir.
Isboti. Zarurligi. Aytaylik, quyidagi akslantirish uzluksiz bo’lsin. U holda ixtiyoriy ochiq to’plamning proobrazi ochiq to’plamdir, ya’ni bo’ladi. Bundan topologiyaning topologiyadan kuchli ekanligi kelib chiqadi.
Etarliligi. Bizga - akslantirish va topologiyaning topologiyadan kuchli ekanligi berilgan. - akslantirishning uzluksiz ekanligini ko’rsatamiz. topologiyadan ixtiyoriy elementni olaylik. Shartga ko’ra topologiya topologiyadan kuchli. Bundan, kelib chiqadi. Demak, - ayniy akslantirish uzluksiz ekan.
4.5.Masala. Zorgenfrey to’g’ri chizig’ini bilan belgilaymiz. ko’rinishdagi barcha yarim intervallar Zorgenfrey to’g’ri chizig’ining bazasini tashkil qiladi va buto’plamlar ochiq-yopiq to’plamlar bo’ladi. Quyidagi funktsiyani qaraylik.

Bu funktsiya uzluksizdir, haqiqatan ham - ochiq-yopiq to’plam, - ochiq-yopiq to’plam bo’ladi.
4.6.Masala. Quyidagi formula bilan berilgan akslantirishning

yopiq, lekin ochiq emasligini ko’rsating.
- akslantirishning uzluksiz ekanligini ko’rsataylik. yoki , yoki , yoki , yoki , yoki yoki to’plamlar kesmada yopiq to’plam bo’lganligidan bu to’plamlarning proobrazlari to’g’ri chiziqda yopiq to’plam bo’ladi. Bundan, akslantirishning uzluksizligi kelib chiqadi.
Endi akslantirishning yopiqligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy - yopiq to’plamni olaylik, u holda bu to’plamning obrazi yoki , yoki , yoki , yoki , yoki yoki to’plamlardan biri bo’ladi.
Endi akslantirishning ochiq emasligini ko’rsatamiz. Quyidagi intervalni qarayliq . Bu interval to’g’ri chiziqda ochiq to’plam. Uning obrazini qarasak, u holda uning obrazi kesmadagi 1 nuqtaga akslanadi. 1 nuqta to’g’ri chiziqda yopiq to’plam. Demak, - akslantirish ochiq akslantirish emas ekan.
Bizga topologik fazo berilgan bo’lsin.
5.1.Ta’rif. Ixtiyoriy ikkita turli va nuqtalar uchun kamida bittasining ikkinchisini o’z ichiga olmaydigan atrofi mavjud.
Ajrimlilikning nolinchi aksiomasini qanoatlantiruvchi topologik fazolarga -fazolar deyiladi.