1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

(5a) · (2nb) · (3nc) = 5a · 2nb · 3nc = (5 · 2 · 3) · a · b · c · (n · n) = 30abcn .
Birhadlarni ko'paytirish natijasida yana birhad hosil bo'ladi. Birhadlarni ko'paytirgach, natijani standart shaklda yozish, soddalashtirish lozim.

Shunday qilib, birhadlarni ko'paytirishning quyidagi qoidasini ta'riflashimiz mumkin:

Birhadlarni ko'paytirish uchun ularning koeffisiyentlarini o'zaro ko'paytirish, so'ngra bir xil harfiy ko'paytuvchilar ko'paytmasini daraja shaklida yozish kerak.

 Birhadlarni natural ko‘rsatkichli darajaga oshirish.

Ikki yoki bir nechta bir xil birhadlarning ko'paytmasini, ya'ni birhadning darajasini qaraymiz, masalan: (5a³b²c)² . Bu birhad 5, a³b²c ko'paytuvchilarning ko'paytmasi bo'lgani uchun ko'paytmani darajaga ko'tarish xossasiga ko'ra:

( 5 a ³ b ² c ) ² = 5 ² ( a ³ ) ² ( b ² ) ² c ² = 25 a ⁶ b ⁴ c ²
Shunday qilib, birhadni natural ko'rsatkichli darajaga ko'tarish natijasida yana birhad hosil bo'ladi.

13-mavzu: Ko'phadlar

1. 
   Ko'phad va uning hadlari.
   

Algebrada ko'pincha birhadlarning yig'indisi yoki ayirmasidan iborat bo'lgan algebraik ifodalar qaraladi.

Masalan, quyidagi rasmda tasvirlangan shaklning yuzi ga teng. ifoda ushbu ikkita birhadning yig‘indisi: va .
Keyingi rasmdagi shaklning yuzi esa ga teng. ifoda va birhadlarning ayirmasi yoki va birhadlarning yig‘indisi. Bu ifodalar birhadlarning algebraik yig'indisi bo'ladi. Bunday ifodalar ko'phadlar deyiladi.

Bir nechta birhadning algebraik yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phadni tashkil qiluvchi birhadlar shu ko'phadning hadlari deyiladi.

 

 Masalan, 5nm² – 3m²k – 7nk² + 4nm ko'phadning hadlari 5nm² , – 3m²k , – 7nk² , 4nm bo'ladi.

Ikkita haddan tuzilgan ko'phad ikkihad deyiladi, uchta haddan tuzilgan ko'phad uchhad deyiladi va hokazo.

Birhadni ham xususiy holda ko'phad deb hisoblaymiz.

2. 
   Ko'phadni soddalashtirish.
   

Agar ko'phadning ba'zi hadlari standart shaklda yozilmagan bo'lsa, u holda shu ko'phadning barcha hadlarini standart shaklga keltirish mumkin.

Masalan, ko'phadning barcha hadlarini standart shaklda yozamiz:

Demak,

 

Ko'phadning barcha hadlarini standart shaklga keltirish ko'phadni soddalashtirish deyiladi.

  14-mavzu: O'xshash hadlarni ixchamlash

1. 
   O'xshash birhadlar.
   

Quyidagi masalani yechaylik: Har bir sahifasida bir xil sondagi harflar bo'lgan ikkita kitob bor; bir sahifada n ta satr joylashgan va har bir satrda m ta harf bor. Birinchi kitob 300 sahifalik, ikkinchisi 500 sahifalik. Ikkala kitobda hammasi bo'lib nechta harf bor?

1- usul. Har bir sahifadagi harflar soni mn ta. Birinchi kitobda
300 nm ta harf, ikkinchisida 500nm ta harf, ikkalasida esa 300 nm + 500 nm = 800 nm ta harf bor.

2- usul. Har bir sahifadagi harflar soni mn ga teng. Ikkala kitobdagi
sahifalar soni 300 + 500 = 800 ga, ulardagi harflar soni 800nm ga teng.

Ammo hisoblashlarda ikkinchi usul ancha qulay bo'ladi. Masalan, agar n = 40, m = 50 bo'lsa, u holda nm = 2000 va 300nm + 500nm ifodani hisoblash uchun yana uchta hisoblashni bajarish kerak:

300 · 2000 + 500 · 2000 = 600000 + 1000000 = 1600000.

800nm ifodani hisoblash uchun esa bor-yo'g'i bitta amalni bajarish kerak, xolos:

800 · 2000 = 1600000

Mana shuning uchun ham algebraik ifodalarni soddalashtirishni bilish muhim ahamiyatga ega.

300nm+500nm ikkihad ikkita birhadning yig'indisidan iborat:

300nm va 500nm .

Bu birhadlar bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilan farq qiladi.

Bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilan farq qiladigan birhadlarni о'xshash birhadlar deyiladi.

  Masalan, abc va 3abc birhadlar o'xshash, 2pq² va 5q²p birhadlar ham o'xshash, lekin a²b va ab² birhadlar o'xshash emas

Bir xil birhadlarni ham o'xshash deb hisoblaymiz. Masalan, 2a²b va 2a²b birhadlar o'xshash.

2. 
   O'xshash hadlarni ixchamlash.
   

Quyidagi ko'phadni soddalashtiramiz:

3ab – 2bc + 4ac – ab + 3bc +4ab .

O'xshash birhadlarni ajratamiz: 3ab , – ab , 4ab birhadlar o‘xshash, ularning tagiga bittadan chiziq chizamiz. – 2bc , 3bc birhadlar o‘xshash, ularning tagiga ikkitadan chiziq chizamiz. 4ac birhadga o'xshash had yo'q, uning tagiga chizmaymiz, ya'ni:

Ko'phad hadlarining o'rinlarini o'xshash hadlar yonma-yon turadigan qilib almashtiramiz va o'xshash hadlarni qavs ichiga olamiz:

(3ab – ab +4ab) +( – 2bc + 3bc) + 4ac .

3ab – ab +4ab = (3 – 1 +4)ab = 6ab hamda – 2bc + 3bc = ( – 2 + 3) bc = bc bo‘lgani uchun:

3ab – 2bc + 4ac – ab + 3bc +4ab = 6ab + bc + 4ac .

Ко'phadlarni о'xshash birhadlar algebraik yig'indisi bitta birhad bilan almashtiriladigan bunday soddalashtirish o'xshash hadlarni ixchamlash deyiladi.

 

3. 
   Ko'phadlarning standart shakli.
   

6ab + bc + 4ac ko'phadda har bir had standart shaklda yozilgan va ular orasida o'xshash hadlar yo'q. Ko'phadning bunday shakli standart shakl deyiladi.

Наr qanday ko'phadni standart shaklda yozish mumkin. Buning uchun avval ko'phadning har bir hadini standart shaklda yozish va so'ngra o'xshash hadlarni ixchamlash kerak.

 Quyidagi ko'phadni standart shaklda yozamiz: