1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

10-mavzu: Natural ko'rsatkichli darajaning xossalari

1. 
   Natural ko'rsatkichli darajaning beshta xossasi.
   

1 - xossa.

.

Bir xil asosli darajalarni ко'paytirishda asos о'zgarmasdan qoladi, daraja ko'rsatkichlari esa qo'shiladi.

 Isbot qilamiz. Natural ko'rsatkichli darajaning ta'rifiga ko'ra

ko'paytirishning guruhlash qonuniga ko'ra

natural ko'rsatkichli darajaning ta'rifiga ko'ra

.

Shunday qilib .

2 - xossa.

 

 

Bir xil asosli darajalarni bo'lishda asos o'zgarmasdan qoladi, daraja ko'rsatkichlari esa ayiriladi.

 

Isbot qilamiz. Shartga ko'ra

Darajaning birinchi xossasiga ko'ra

.

Shuning uchun

.

Shunday qilib

3 - xossa.

Darajani darajaga ko'tarishda asos o'zgarmasdan qoladi, daraja ko'rsatkichlari esa o'zaro ko'paytiriladi

 

 

Isbot qilamiz. Natural ko'rsatkichli darajaning ta'rifiga ko'ra

darajaning birinchi xossasiga ko'ra

ko'paytirishning ta'rifiga ko'ra

Shunday qilib

4 - xossa.

 

Ko'paytmani darajaga ko'tarishda har bir ko'paytuvchi shu darajaga ko'tariladi.

 
Isbot qilamiz.

ko'paytirishning guruhlash va o'rin almashtirish qonuniga ko'ra

natural ko'rsatkichli darajaning ta'rifiga ko'ra

Shunday qilib

5 - xossa.

.

Kasrni darajaga коtarishda uning surat va maxraji xuddi shu darajaga ko'tariladi.

 

 Isbot qilamiz. Natural ko'rsatkichli darajaning ta'rifiga ko'ra

kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra

natural ko'rsatkichli darajaning ta'rifiga ko'ra

.

Shunday qilib .

11-mavzu: Birhad va uning standart shakli

1. 
   Birhad.
   

Turli masalalarni yechishda ko'pincha ko'rinishdagi algebraik ifodalarga duch kelinadi.

Masalan, o'lchamlari rasmda ko'rsatilgan to'g'ri burchakli parallelepiped sig'imi ga teng.

• 
  ifoda birinchisi raqam bilan, qolgan uchtasi a, b, с harflari bilan belgilangan to'rtta ko'paytuvchining ko'paytmasidir.
  
• 
  
  

Raqamlar bilan yozilgan ко'paytuvchilar sonli ко'paytuvchilar, harflar bilan belgilangan ko'paytuvchilar esa harfiy ko'paytuvchilar deyiladi. Sonli va harfiy ko'paytuvchilar ko'paytrnasidan iborat algebraik ifoda birhad deyiladi.

 

Masalan, ushbu ifodalar birhadlardir:

Teng ko'paytuvchilar ko'paytmasini natural ko'rsatkichli daraja shaklida yozish mumkin bolganligi uchun sonning darajasi va sonlar darajalarining ko'paytmasi ham birhadlar deyiladi. Masalan, ushbu ifodalar birhadlar bo'ladi:


Наг bir sonni shu son bilan birning ko'paytmasi shaklida yozish mumkin bo'lgani uchun ko'rinishdagi ifodalar ham birhadlar deb hisoblanadi.

2. 
   Birhadning standart shakli.
   

Quyidagi birhad berilgan bo‘lsin:

Ko'paytirishning o'rin almashtirish va guruhlash qonunlarini qo'llab, birhadni quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:

 

Birinchi o'rinda turgan faqat bitta son ko'paytuvchidan va har xil asosli harfiy darajalardan tuzilgan birhadga standart shakldagi birhad deyiladi.

 

Birhadning standart shaklida bir xil harflar yo'qligini eslatib o'tamiz.

3. 
   Birhadlarni standart shaklga keltirish qoidasi.
   

   Birhadni standart shaklda yozish uchun barcha son ko'paytuvchilarni o'zaro ko'paytirish va ularning ko'paytmasini birinchi o'ringa yozish kerak. So'ngra bir xil harfiy ko'paytuvchilar ko'paytmasini daraja shaklida yozish kerak. Harfiy ko'paytuvchilar odatda alifbo tartibida joylashtiriladi.

4. 
   
   

Birhadning standart shaklida bir xil harflar bo‘lmaydi.

Standart shaklda yozilgan birhadning son ko'paytuvchisini shu birhadning koeffitsiyenti deyiladi.

 

Masalan, birhadning koeffitsienti 3 ga teng, birhadning koeffitsienti ga teng, birhadning koeffitsienti 9 ga teng.

ga teng bo‘lgan koeffitsient odatda yozilmaydi, chunki birga ko'paytirgan bilan son o'zgarmaydi. Masalan, ya'ni birhadning koeffitsienti ga teng.