1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Darsda yechish uchun topshiriqlar.

1. 
   Funksiyalarni bir jinslilikka tekshiring .
   

3. ning qanday qiymatlarida
funksiya 3-tartibli bir jinsli funksiya bo’ladi.

2. 
   Quyidagi tenglamalarni yeсhing .
   

3. 
   Quyidagi tenglamalarni yeсhing .
   

2-Mustaqil ish topshiriqlari.



3 –MAVZU:
Chiziqli differensial tenglamalar va uni yechishning Lagranj va Bernulli usullari. Amaliy masalalarga tadbiqi.

Ushbu
(1)

ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, bu yerda va biror oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiyalar. Agar (1) tenglamada yoki bo’lsa, u holda o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama hosil bo’ladi.
Agar (1) tenglamada bo’lsa,
(2)
ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lib, u (1) tenglamaga mos bir jinsli tenglama deyiladi. Odatda, (1) tenglama Lagranjning o’zgarmasni variasiyalash (o’zgartirish) usuli bilan yechiladi.
Bu usulni ushbu tartibda bajariladi:
a) Avval (2) ko’rinishdagi, ya’ni (1) tenglamaga mos kelgan bir jinsli tenglamani yechamiz. (2) tenglama (3) ko’rinishdagi o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lib, u

ko’rinishdagi umumiy yechimga ega;
b) (1) tenglamaning yechimini
(3)
ko’rinishda qidiramiz. (3) ifodani (1) tenglamaga qo’yib, funksiyaga nisbatan o’zgaruvchilari ajraladigan
(4)
differentsial tenglamaga kelamiz. Undan funksiyani topib, so’ng (3) ifodaga qo’yib, (1) tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
(5)
Izoh 1. (1) tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda qidirilishi ham mumkin. Bunday usul o’rniga qo’yish yoki Bernulli usuli deyiladi.
Izoh 2. Berilgan tenglama funksiyaga nisbatan emas, balki, funksiyaga nisbatan chiziqli bo’lishi ham mumkin.
Misol 1. Tenglamani yeching:
(6)
Yechish. (6) tenglamaga mos kelgan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini o’zgaruvchilarini ajratish usuli bilan topamiz: .
Berilgan tenglamaning umumiy yechimini
(7)
ko’rinishda olib ifodani (6) tenglamaga qo’yamiz:
, ya’ni .
Oxirgi tenglamadan topilgan funksiyani (7) ifodaga qo’yib, (1) tenglamaning umumiy yechimini topamiz: