1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Misol 6.2. Tenglamani yeching: .
Yechish. Ko’rinib turibdiki, o’zgaruvchi o’zgaruvchining funksiyasi bo’lganda bu tenglama chiziqli emas. Shuning uchun tenglamani differensiallarda yozib olamiz.

ni erkli o’zgaruvchi va ni qidirilayotgan funksiya deb qarab,

ko’rinishdagi ga nisbatan chiziqli tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi tenglamaning umumiy yechimini o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan topamiz
.
Misol 3. Tenglamani yeching:
Yechish. Berilgan tenglamani Bernulli usulida yechamiz. Tenglamada almashtirish kiritib tenglamani hosil qilamiz. Bundan ifodani yozib ko’rinishdagi o’zguruvchilari ajraladigan ikkita tenglamaga ega bo’lamiz. Oldin birinchi, so’ng ikkinchi tenglamani yechib va funksiyalarni topamiz. Ularni ifodaga qo’yib umumiy yechimni ko’rinishini olamiz.
Darsda yeсhish uсhun misollar.
I. Tenglamalarni Lagranj va Bernulli usulida yeсhing:
II. tenglamaning da сhegaralangan yeсhimini toping.


4 –MAVZU:
Bernulli tenglamasi.

To’la differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi.

Bernulli tenglamasi.
Ushbu
+’(x)y=f (x)yⁿ (n0,1) (11)
ko’rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deyiladi.
Bernulli tenglamasini chiziqli tenglamaga keltirish mumkin. Buning uchun (11) ni yⁿ ga bo’lamiz, u holda
y^-n +’(x)y^1-n=f (x) (12)
tenglamani olamiz. Bunda
y^1-n=z (13)
almashtirish bajaramiz.(13) ni (12) ga qo’yish uchun ni topamiz. Ya’ni (13) dan hosila olib,
(14)
Endi (3) va (4) ni (2) ga qo’yamiz

yoki

Bu chiziqli tenglama, ushbu chiziqli tenglamani yuqoridagi usulda yechib, so’ng yana (x,y) o’zgaruvchilarga o’tsak Bernulli tenglamasining yechimi quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi.
(15)
MISOL: tenglamani yeching. Bu Bernulli tenglamasi bo’lib n=2, ‘(x)= , f(x)= . Tenglamani y² ga bo’lib yuboramiz

Bu yerda y^-1=z ( ) almashtirish qilamiz, hosila olsak, va tenglamaga qo’yamiz

soddalashtirsak
.
Bu chiziqli tenglamani o’zgarmasni variatsiyallash usulida yechib

yechimga ega bo’lamiz. u o’zgaruvchiga o’tsak

umumiy yechim hosil bo’ladi.
ESLATMA: Bernulli tenglamasini yⁿ ga bo’lganda (n>0) yechim yo’qotishimiz mumkin. Shuning uchun n>1 da y=0 yechimni (15) formuladan c= bo’lganda olish mumkin, bu xususiy yechim bo’ladi. Agar 0<n<1 bo’lsa y=0 yechim (14) formuladan kelib chiqmaydi va maxsus yechim bo’ladi.
Agar
(1)
tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to’liq differensialidan iborat bo’lsa, (1) tenglama to’liq differensialli tenglama deyiladi, ya’ni

tenglik o’rinli.
(1) tenglamaning to’liq differensiali bo’lishi uchun Eyler-Dalamber shartining
(2)
bajarilishi zarur va yetarli.
Agar yuqoridagi xossaga ega bo’lgan funksiya mavjud bo’lsa, u holda (1) tenglamaning umumiy integrali

ko’rinishda yoziladi.
funksiyani topish uchun uni to’liq differensiali formulasiga ko’ra
(3)
tengliklardan foydalanamiz.
Shu tengliklardan birinchisini bo’yicha integrallab funksiyani topamiz:
(4)
bu yerda - ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya, esa funksiyaning boshlang’ich funksiyasi.
Endi (4) tenglikni bo’yicha differensiallab, (3) tengliklardan ikkinchisiga tenglab, funksiyani aniqlash uchun ushbu tenglamani hosil qilamiz:
.
Bu yerdan funksiyani topib, (4) munosabatga qo’yamiz va funksiyaning ko’rinishini hosil qilamiz.
Agar (1) tenglama uchun Eyler-Dalamber sharti bajarilmasa, u holda (1) tenglama to’liq differensialli bo’lmaydi.
Ta’rif. Agar

tenglama to’la differensial tenglama bo’lsa, funksiya (1) tenglamani integrallovchi ko’paytuvchisi deyiladi.Bu holda Eyler-Dalamber sharti quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

bundan hosila olib, hosilalarni bir tomonga o’tkazsak, integrallovchi ko’paytuvchi
(5)
ko’rinishdagi birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi bo’ladi.
Integrallovchi ko’paytuvchini topishning ba’zi xususiy hollariga to’xtalamiz. Bunda, va bo’lishi kerak.
1-hol. Agar ifoda o’zgarmas son yoki faqat x o’zgaruvchiga bog’liq funksiya bo’lsa, u holda ko’rinishda integrallovchi ko’paytuvchi mavjud va u
(6)
bo’lsa,
(7)
formula bo’yicha topiladi.
2-hol. Agar ifoda o’zgarmas son yoki faqat u o’zgaruvchiga bog’liq funksiya bo’lsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi faqat o’zgaruvchiga bog’liq funksiya bo’ladi ya’ni va u bo’lsa,
(9)
formula bo’yicha topiladi.
3-hol. Agar munosabatni qanoatlantiruvchi qandaydir va funksiyalar topilsa, u holda integrallanuvchi ko’paytuvchi ko’rinishda bo’ladi. va funksiyalar
va (9)
formulalar yordamida topiladi.
4-hol. Agar va funksiyalar bir xil o’lchovli bir jinsli funksiyalar bo’lsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi
(10)
ko’rinishda bo’ladi.
5-hol. - (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lib, esa (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisiga mos integral bo’lsin. U holda (1) tenglamaning barcha integrallovchi ko’paytuvchilari formula bilan ifodalanadi, bu yerda -ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
Shu tasdiqdan foydalanib, ba’zan, integrallovchi ko’paytuvchini topish mumkin. Buning uchun (1) tenglamani shartli ravishda ikkita qismga ajratamiz:
(11)
bu yerda
(11') tenglamalarining, mos ravishda, va integrallovchi ko’paytuvchilari hamda shu integrallovchi ko’paytuvchilarga mos kelgan va integrallarni topilgan deb faraz qilamiz. U holda yuqorida taokidlanganidek, (11') differensial tenglamalarning ixtiyoriy integrallovchi ko’paytuvchilarini

ko’rinishlarda yozish mumkin. va funksiyalarning ixtiyoriyligidan foydalanib, ularni shunday tanlaymizki, munosabat o’rinli bo’lsin. Bu holda funksiya berilgan (1) differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi bo’ladi.
Izoh. Amalda va funksiyalarni 1 ga teng qilib olish mumkin. Yuqoridagidek mulohaza bilan (1) tenglama uchun ko’rinishdagi integral-lovchi ko’paytuvchilar mavjudligini taominlaydigan shartlar olish mumkin.
Misol 1. Tenglamani yeching.
(12)
Yechish. Bu holda va ; va . SHunday qilib, , ya’ni berilgan (12) tenglamaning chap tomoni haqiqatan ham qandaydir funksiyaning to’liq differensiali bo’lar ekan.
Qidiralayotgan funksiyani topish uchun (3) ga ko’ra ushbu va tenglamalardan birinchisini x bo’yicha integrallaymiz:

Endi hosila olib, tenglab munosabatdan funksiyani topamiz: . Demak, Berilgan (12) tenglamaning umumiy integrali ko’rinishda bo’ladi.
Misol 2. Tenglamani yeching.
(13)
Yechish. (13) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

Bu holda

Ko’rinib turibdiki, - berilgan tenglama to’liq differensialli emas. Integrallovchi ko’paytuvchi ni topish maqsadida, avvalo, ushbu ifodalarni qaraymiz:

Demak, integrallovchi ko’paytuvchi faqat ga bog’liq funksiya ekan (1-hol):

Oxirgi tenglikdan foydalanib (6) formulaga ko’ra, funksiyalarni topamiz. Bizni birorta integrallovchi ko’paytuvchi qiziqtirayotganligi uchun deb olsak bo’ladi:
(14)
(13) tenglamaning ikkala tomoniga (14) ko’rinishidagi m(x) integrallovchi ko’paytuvchini ko’paytiramiz. Natijada (15)
to’liq differensialli tenglama hosil bo’ladi. Haqiqatan ham, , bo’lsa

Demak, (15) tenglamaning chap tomoni qandaydir funksiyaning to’liq differensiali ekan. Bu funksiyani topishni o’quvchiga qoldirib, natijani yozamiz: , bu (13) tenglamaning umumiy integralini ifodalaydi.
Misol 3. Tenglamani yeching:
(16)
Yechish. Tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
(17)
Ko’rinib turibdiki, .
Shuning uchun ekanligidan, integrallovchi ko’paytuvchining faqat ga bog’liq funksiya (2-hol) ekanligi kelib chiqadi:

Oxirgi tenglikdan foydalanib integrallashdan topilgan integrallovchi ko’paytuvchini (17) tenglamaning ikkala tomoniga ko’paytirib, ilgari ko’rilgan (12) tenglamani hosil qilamiz. Demak, (17) tenglamaning umumiy integrali funksiya bo’ladi.
Misol 4. Tenglamani yeching.
(18)
Yechish. ifodani yozib olamiz:
Bevosita tekshirish ko’rsatadiki, (3-hol) . Demak, integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishda ekan, bu yerda
va (19)
Topilgan integrallovchi ko’paytuvchi yordamida (18) tenglamaning umumiy integrali . ko’rinishda bo’ladi.
Misol 5. Tenglamani yeching: .
Yechish. va bir xil tartibli bir jinsli funksiyalardir (4-§ ga qarang). Integrallovchi ko’paytuvchilarni (10) formula bilan topamiz: .
Topilgan integrallovchi ko’paytuvchidan foydalanib, berilgan tenglamaning integralini yozamiz va bundan umumiy yechim kelib chiqadi.
Misol 6. Tenglamani yeching:
Yechish. Tenglama 5 - misol kabi yechiladi:

Umumiy yechim:
Misol 7. Tenglamani yeching: (20)
Yechish. Berilgan tenglamaning to’liq differensialli emasligi ravshan. (20) tenglamani (11) ko’rinishda yozib olamiz (5-xol):

Ushbu
(21) (22)
tenglamalarni qaraymiz. Bu tenglamalarning integrallovchi ko’paytuvchilari va umumiy integrallari mahlum (5 va 6 misollarga qarang):

(21) va (22) tenglamalarning barcha integrallovchi ko’paytuvchilari, mos ravishda,
formulalar bilan ifodalanadi.
va funksiyalarning ixtiyoriyligidan foydalanib, ularni shunday tanlaymizki,

tenglik bajarilsin. Buning uchun

bo’lishi kerak.
Bundan ko’rinishdagi integrallovchi ko’paytuvchini topamiz va uni (20) tenglamaning ikkala tomoniga ko’paytirib, to’liq differensialli tenglamaga kelamiz:
Mazkur tenglamaning umumiy integralini yuqoridagi usulda topib, natijani yozamiz: