1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Darsda yechish uchun topshiriqlar.

1. 
   Tenglamalarni yeсhing va maxsuslikka tekshiring.
   

II. Tenglamalarni parameter kiritish usuli bilan yeсhing:

2. 
   Lagranj va Klero tenglamalarini yeсhing:
   

6-MAVZU:
Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar.

Yuqori tartibli tenglamalarni ba’zi hollarda tartibini pasaytirish mumkin. Xozir shunday tenglamalarning bir necha tiplarini ko’rib o’tamiz.

1. 
   Ushbu
   

(1kn) (1)
(1) tenglamada y, ,…,y^(k-1) tartibli Hosila lar qatnashmaydi. Bu holda y^(k)=z ko’rinishda yangi z funksiya kiritamiz, unda (1) tenglama
(2)
ko’rinishga kelib, tartibi (n-k) ga teng. Biror usul bilan (2) tenglamani yechib, umumiy yechimini topamiz.

almashtirishga ko’ra

ko’rinishiga keladi. So’ngi tenglamani integrallab,

ko’rinishdagi umumiy yechimini olamiz.
MISOL:
Unda =z deb olsak,
yoki Klero tenglamasiga keladi.
Klero tenglamasining yechimi
bo’lib, undan
tenglamaga kelamiz.
Integrallab, quyidagi
y=c₁x(x-c₁)+c₂ ( )
ko’rinishdagi umumiy yechimni topamiz.
ESLATMA: Agar (1) tenglama

ko’rinishida bo’lsa almashtirish qilamiz. Agar

ko’rinishda bo’lsa almashtirish kiritib

ko’rinishdagi tenglamaga keltiriladi.
Agar n-tartibli tenglamani ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, uni integrallash oson amalga oshiriladi. Bunda f(x) (a,b) intervalda uzluksiz funksiya. Bu tenglamani integrallashda tenglikdan ketma-ket foydalanib, integrallaymiz, ya’ni

shu jarayonni n-marta takrorlab umumiy yechimni hosil qilamiz.

2. 
   (1) tenglamada erkli o’zgaruvchi qatnashmasa, ya’ni
   

(3)
bo’lsa, u holda =z ko’rinishda yangi o’zgaruvchi kiritamiz va uni erkli o’zgaruvchi sifatida olamiz hamda ketma-ket Hosila hisoblamiz:



Bu hosila larni (3) tenglamaga qo’yib,

n-1 tartibli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini topsak,
z=(y,c,c₁,…,c_n-1)
ko’rinishida ifodalanadi. Bundan esa
=(y,c,c₁,…,c_n-1)
tenglamaga kelamiz. So’nggi tenglamani integrallab, (3) tenglamani umumiy yechimi topiladi.
3. (1) tenglamada F funksiya y, o’zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli bo’lsin, ya’ni bir jinsli tenglamalar mavzusida berilgan ta’rifga ko’ra ixtiyoriy t uchun

tenglik o’rinli bo’lsin.
Bunday tenglamalar uchun
almashtirish qilamiz, unda

bo’lib, (1) tenglama

bu bir jinsli ekanligini nazarda tutsak,

Bu tenglamani y^m ga bo’lib yuborsak, n-1 tartibli tenglamaga kelamiz. Uni yechib,

echimga ega bo’lamiz , yoki almashtirishga ko’ra

tenglamani yechamiz, buni umumiy yechimi

ko’rinishda bo’lib, (1) tenglamaning bir jinsli bo’lgan holdagi umumiy yechimini ifodalaydi.
Faraz qilaylik tenglama
(4)
ko’rinishda bo’lib, P va Q funksiyalar mos holda k va m tartibli bir jinsli funksiyalar bo’lsin. U holda
(5)
almashtirish qilib, (4) ni x ga nisbatan yechamiz va x ni o’rniga
x= (t) parametr kiritamiz, uni (5) ga qo’yib,

ko’rinishni hosil qilamiz.
Shunday qilib,

parametrik ko’rinishdagi tenglamani hosil qilamiz. tenglikdan foydalanib ketma-ket integrallaymiz.
ESLATMA: F funksiya bir jinsli bo’lgan holda
almashtirish kiritish ham tenglama tartibini kamayti-rishiga olib keladi.
MISOL: tenglamani yeching.
Tekshiramiz: ,
bundan demak, berilgan tenglama ni nisbatan bir jinsli ekan. Endi

belgilash kiritamiz:
hosilalar bilan birga tenglamaga qo’yamiz.

yoki bo’ladi. tenglamani yechib, topamiz. Almashtirishi ko’ra umumiy yechim hosil bo’ladi.