Mavzu: Logarifmik differensiallash

Mavzu: Logarifmik differensiallash
Reja:

1. 
   Logarifmik hosila. Daraja-ko`rsatkichli funksiyaning hosilasi.
   
2. 
   Trigonometrik funksiyalarning hosilalari
   
3. 
   Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari.
   

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o`suvchi, (a;b) intervalda y`=f`(x) hosilaga ega va "xÎ(a,b) uchun f`(x)¹0 bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: f(a)=a, f(b)=b. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x) funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, [a;b] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo`lgan x=j(y) funksiya mavjud bo`ladi.

Teskari funksiya argumenti y ga Dy¹0 orttirma beramiz. U holda x=j(y) funksiya biror Dx=j(y+Dy)-j(y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan Dx¹0, uzluksizligidan esa Dy®0 da Dx®0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi x=j(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e`tiborga olsak, hosilaning ta`rifiga ko`ra
, demak x<sub>y</sub>`=j`(y)=1/f`(x) formula o`rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot bo`ldi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o`suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y`=f`(x) hosilaga ega bo`lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo`lgan x=j(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va "yÎ(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f`(x) ga teng bo`ladi.
Ushbu teorema f(x) funksiya kamayuvchi bo`lganda ham o`rinli ekanligini isbotlashni o`quvchilarga qoldiramiz.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
(5.4)
formula bilan ifodalanadi.