1-Ma’ruza Aniq integralning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqlari. Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

Aniq integralning mexanik tadbiqi 
Massa, inersiya va statik momentlarni hisoblash. 
Fazoviy 
egri chiziq 
to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida
 
parametrik tenglamalari bilan va 
kesmada integrallanuvchi 
funksiya 
massaning uzunlik bo‘yicha taqsimlanishini beruvchi zichlikni ifodalasin. 
U holda yoyning massasi
√
(13) 

---

formula bilan hisoblanadi. Xususiy holda 
kesmada differensiallanuvchi 
funksiya bilan berilgan va 
chiziqli zichlikka ega egri chiziqning 
massasi 
√
tenglik bilan topiladi. 
tekislikda massalari 
bo‘lgan 
nuqtalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
9-Ta’rif.
Material nuqtalar sistemasining 
va 
o‘qlarga nisbatan 
va 
inersiya momentlari
deb, bu nuqtalar massalarining mos koordinata o‘qigacha 
bo‘lgan masofalari kvadratlariga ko‘paytmalarining yig‘indisiga aytiladi:
;
10-Ta’rif.
Material nuqtalar sistemasining 
va 
o‘qlarga nisbatan 
va 
statik momentlari
deb, bu nuqtalar massalarining mos koordinata o‘qigacha 
bo‘lgan masofalariga ko‘paytmalarining yig‘indisiga aytiladi:
;
. 
Massalari uzluksiz taqsimlangan jismning inersiya momentini hisoblash 
integral hisobni qo‘llashni talab qiladi. Agar jism massasi differensialining biror 
parametrga bog‘liqligi 
va o‘qqacha bo‘lgan 
masofa ma’lum 
bo‘lsa, inersiya momenti uchun 
(14) 
tenglikni yozish mumkin. 
tekislikda 
egri chiziq
parametrik 
tenglamalar bilan berilgan bo‘lib, massaning uzunlik bo‘yicha taqsimlanishini 
funksiya ifodalasa, u holda (13) va (14) formulalarga ko‘ra egri 
chiziqning 
o‘qqa nisbatan inersiya momenti 
√
(15) 
formula bilan hisoblanadi. Xuddi shu singari 
o‘qqa nisbatan inersiya momenti 
√
(16) 
formula bilan hisoblanadi. 
Xususiy holda 
kesmada differensiallanuvchi 
funksiya bilan 
berilgan va 
chiziqli zichlikka ega egri chiziqning koordinata o‘qlariga 
nisbatan inersiya momentlari 
√
, 
√
tengliklar bilan topiladi. 

---

Inersiya momentini hisoblashga qilingan mulohazalarni statik momentlar 
uchun takrorlab (15), (16) formulalar va ularning xususiy hollari uchun mos 
ravishda 
√
(17) 
√
(18) 
√
;
√
formulalarni yozish mumkin. 
15-Misol.
astroidaning (11-rasm) birinchi chorakda 
yotgan qismining statik va inersiya momentlarini hisoblang. 
►Astroidaning koordinata o‘qlariga nisbatan
simmetrikligi tufayli
va 
bo‘ladi.
Shuning uchun momentlarni faqat 
o‘qqa nisbatan 
hisoblash yetarli. Zichlik
deb olamiz. 
Birinchi chorak uchun 
bo‘ladi. Demak 
(30) va (31) formulalarga ko‘ra
√
|
√
|
.◄