1-Ma’ruza Aniq integralning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqlari. Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

Trapetsiyalar formulasi.
To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasini hosil qilishdagi 
singari, bu yerda ham 
kesmani 
nuqtalar 
yordamida uzunliklari 
ga teng bo‘lgan 
ta teng qismga ajratamiz 
(13-rasm). 
Funksiyaning 
bu 
nuqtalardagi 
qiymatlarini 
orqali belgilaymiz. Funksiya grafigining 
…
nuqtalarini tutashtirib 
siniq chiziq 
o‘tkazamiz. Bu siniq chiziqning kesmalarini yon tomon sifatida olib to‘g‘ri 
burchakli trapetsiyalar yasaymiz. Ana shu yasalgan trapetsiyalarning asoslari 
balandliklari esa 
bo‘ladi. Bu trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisini 
qidirilayotgan aniq integralning taqribiy qiymati sifatida olamiz: 
[
]
(20) 
0 
0 
0 
0 
0 

---

(20) formula 
trapetsiyalar formulasi
deb ataladi. 
Agar 
funksiya 
kesmada uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega 
bo‘lsa, (20) taqribiy tenglikning absolyut xatoligi 
| 
|
formula bilan baholanadi, bu yerda 
| 
| 
Parabolalar (Simpson) formulasi.
To‘g‘ri to‘ryburchaklar formulasida funksiya 
grafigi zinasimon shakldagi siniq chiziq bilan, trapetsiyalar formulasida funksiya 
grafigining vatarlaridan iborat siniq chiziq bilan almashtirilgan bo‘lsa, parabolalar 
formulasida funksiya grafigi parabolalar bilan almashtiriladi. 
kesmani bu safar juft sondagi 
ta teng kesmalarga ajratamiz va 
bo‘linish nuqtalari 
bo‘lsin. 
Funksiya bu nuqtalarda 
qiymatlarni qabul qiladi. Funksiya grafigining 
kesmalarga mos 
keladigan qismini 
va 
nuqtalardan o‘tuvchi 
parabola bilan almashtiramiz (14-rasm). 
hozircha noma’lum koffisiyentlar bo‘lib, ular 
nuqtalarning 
koordinatalarini parabola tenglamasiga qo‘yib topiladi. 
va 
ekanligini inobatga olgan holda nuqtalarning koordinatalarini parabola 
tenglamasiga qo‘yib, 
koffisiyenlarga nisbatan ciziqli 
{
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistemani yechib, noma’lum
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14-rasm 

---

koffisiyentlarning qiymatlarini topdik. Shunday qilib funksiya grafigi 
kesmada 
parabola bilan almashtirilar ekan. Parabolani ana shu kesmada integrallaymiz: 
( 
)
|
|
|
funksiyaning 
kesma bo‘yicha aniq integralining taqribiy 
qiymati sifatida parabolaning bu kesma bo‘yicha integralining ana shu qiymatini 
olamiz: 
Xuddi shu singari 
kesmalar bo‘yicha 
…………………………………………………… 
aniq integral uchun taqribiy tengliklarni hosil qilamiz. 
ekanligini inobatga olgan holda, bu taqribiy tengliklarning 
chap va o‘ng tomonlarini qo‘shib 
Yoki 
(21) 
formulani hosil qildik. (21) formula 
parabolalar formulasi
deb ataladi. 
Agar 
funksiya 
kesmada uzluksiz to‘rtinchi tartibli hosilaga ega 
bo‘lsa, (21) taqribiy tenglikning absolyut xatoligi 
| 
|
formula bilan baholanadi, bu yerda 
| 
| 

---