1-Ma’ruza Aniq integralning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqlari. Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

 
 
 
10-Misol.
va 
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping 
(4-rasm). 
►Bu chiziqlar kesishgan nuqtani topamiz: 
yoki 
Demak chiziqlar 
va 
nuqtalarda kesishar ekan. U holda integrallash 
chegaralari 
va 
bo‘ladi. Shuning uchun qidirilayotgan yuzani (17) 
formula bo‘yich topsak 
|
|
6) Egri chiziqli trapetsiya 
{
parametrik tenglama bilan berilgan egri chiziq va 
va 
to‘g‘ri chiziqlar 
va 
bilan chegaralangan bo‘lsa, uning yuzi 
(5) 
3-rasm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-rasm 
 
 
 
 
 
 
 

---

formula bilan hisoblanadi, bu yerda 
va 
integrallash chegaralari 
va 
tengliklardan aniqlanadi. 
11-Misol.
ellips bilan chegaralangan figuraning yuzini 
toping. 
►Dastlab 
yuzaning 1/4 qismini topamiz. Bu yerda
o‘zgaruvchi
dan 
gacha o‘zgaradi, demak
o‘zgaruvchi
dan 
gacha o‘zgaradi (5-rasm). U 
holda 
(
|
|
)
Bundan esa 
qidirilayotgan yuzani hosil qilamiz.◄ 
Jism hajmi.
va 
tekisliklar orasida joylashgan jismni qaraymiz (6-
rasm). Bu jismning 
o‘qqa perpendikulyar tekisliklar bilan kesimining yuzi 
nuqtaga bog‘liq bo‘lib, bu bog‘liqlik 
kesmada uzluksiz 
funksiyadan iborat bo‘lsin. 
Bu jismning hajmi 
(6) 
formula bilan hisoblanadi. 
 
 
 
 
 
6-rasm 
5-rasm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7-rasm 
 
 
 
 
 
8-rasm 

---

Yuqorida hajmi hisoblangan jismga qilingan faraz 
kesmada aniqlangan 
uzluksiz nomanfiy funksiya grafigidan hosil bo‘lgan egri chiziqli trapetsiyani 
o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jism uchun ham o‘rinli (7- rasm). Bu
holda
bo‘ladi, shuning uchun bu aylanma jismning hajmi 
(7) 
formula bilan hisoblanadi. Xuddi shu singari asosi 
kesma bo‘lgan va bu 
kesmada uzluksiz nomanfiy 
funksiya grafigi bilan chegaralangan egri 
chiziqli trapetsiyani 
o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning (8-rasm) 
hajmi 
(8) 
formula bilan hisoblanadi. 
va 
uzluksiz funksiyalar grafiklari va 
to‘g‘ri 
chiziqlar bilan chegaralangan yassi figurani 
va 
o‘qlar atrofida 
aylantirishdan hosil bo‘lgan jismlarning hajmlari mos ravishda 
,
(9) 
tengliklar bilan topiladi, bu yerda 
va ixtiyoriy 
uchun 
deb faraz qilingan. 
12-Misol.
parabolaning 
yoyini 
o‘q atrofida aylantirishdan hosil 
bo‘lgan jismning hajmini toping.
►Parabolaning
yoyi tenglamasi
√
bo‘ladi. Shuning
uchun
qaralayotgan jismning hajmi 
bo‘ladi.◄