1-Ma’ruza Aniq integralning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqlari. Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

8.30-Misol. 

aniq integralni to‘g‘ri to‘rtburchaklar, trapetsiya va 

parabolalar formulasiga ko‘ra 
hol uchun taqribiy hisoblang va natijalarni 
integralning aniq qiymati bilan taqqoslang. 
►Dastlab integralning aniq qiymatini topamiz: 
|
Endi 
kesmani 
nuqtalar bilan to‘trtta teng qismlarga ajratamiz. 
To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi bilan hisoblash.
Ajratilgan teng 
qismlarning o‘rtalarini topamiz: 
va funksiyaning 
bu nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: 
. Hisoblangan qiymatlarni to‘g‘ri to‘rtburchaklar 
formulasiga qo‘yib 
(
)
Hisoblangan natijaning xatoligini baholaymiz. Integral osti 
funksiya 
ikkinchi tartibli hosilaga ega va bu hosila uchun 
| |
|
|
tenglik o‘rinli. To‘g‘ri to‘rtburchak formulasidagi xatolikni baholash formulasiga 
ko‘ra xatolik 
qiymatdan oshmaydi. Endi aniq qiymat 
bilan taqribiy qiymat orasidagi farqni topaylik: 
, ya’ni haqiqiy xatolik formula bo‘yicha xatolikdan haqiqatda kam ekan.
Trapetsiyalar formulasi bilan hisoblash.
Funksiyaning 
buqralardagi 
qiymatlarini taqriban hisoblaymiz: 
, 
, 
, 
, 
. Hisoblangan bu qiymatlarni trapetsiyalar 
formulasiga qo‘yib
( )
Hisoblangan natijaning xatoligini baholaymiz. To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi 
bilan hisoblashda 
ekanligini aniqlagan edik. Shuning uchun 
trapetsiyalar formulasining xatoligini hisoblash formulasiga ko‘ra xatolik 
qiymatdan oshmaydi. Endi aniq qiymat bilan taqribiy 
qiymat orasidagi farqni topaylik: 
, 
ya’ni haqiqiy xatolik formula bo‘yicha xatolikdan haqiqatda kam ekan.
Parabolalar formulasi bilan hisoblash.
Yuqorida hisoblangan 
qiymatlarni Simpson formulasiga qo‘yamiz: 

---

( 
)
( )
Hisoblangan natijaning xatoligini baholaymiz. Integral osti funksiya 
integrallash kesmasida uzluksiz to‘rtinchi tartibli hosilaga ega: 
va bu hosila uchun 
| 
|
|
|
qiymatni yozish mumkin. Simpson formulasining xatoligini hisoblash formulasiga 
ko‘ra hisoblangan natijaning xatoligi 
qiymatdan oshmaydi. Endi aniq qiymat bilan taqribiy qiymat orasidagi farqni 
topaylik: 
, ya’ni haqiqiy xatolik formula 
bo‘yicha xatolikdan haqiqatda kam ekan.
Bitta integralni uchta usul bilan taqribiy hisobladik va Simpson formulasi 
to‘g‘ri tortburchaklar va trapetsiya formulalariga nisbatan aniqlik darajasi ancha 
yuqori ekanligini aniqladik.◄