1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

i
H
y
x
A(x; y)
j
H
i
H
y
x
A(x; y)
x
y
A
x
A
y
a
H
a
b
O
O
244

---

143
Masalan, 
KKKH
OA
vektorning koordinatalari
vektor oxiri 
A
ning koordinatalari bilan to‘la
aniqlanadi, ya’ni vektor oxirining koordina-
talariga teng bo‘ladi.
Agar 
A
(
x
; 
y
) bo‘lsa, 
OA
KKK
H
(
x
; 
y
)
bo‘ladi.
1 - x u l o s a .
Agar vektor oxirining koor-
dinatalari vektorning koordinatalari bilan teng
bo‘lsa, u holda berilgan vektorning boshi
koordinatalar boshida bo‘ladi (244-b rasm).
2 - x u l o s a .
Agar 
H
a
(
a
1
; 
a
2
) vektor bilan
uning oxiri bo‘lgan 
B
(
x
2
; 
y
2
) nuqtasi koor-
dinatalari berilgan bo‘lsa, u holda vektor boshi 
A
(
x
1
; 
y
1
) nuqtaning koordi-
natalarini topish uchun 
B
nuqtaning koordinatalaridan 
H
a
(
a
1
;
a
2
) vektorning mos
koordinatalarini ayirish kifoya:
x
1
=
x
2
−
a
1
; 
y
1
=
y
2
−
a
2
.
3- x u l o s a .
Agar 
H
a
(
a
1
; 
a
2
) vektor bilan uning boshi bo‘lgan 
A
(
x
1
;
y
1
) nuq-
tasi koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda vektor oxiri 
B
(
x
2
;
y
2
) nuqtaning koor-
dinatalarini topish uchun 
A
nuqtaning koordinatalariga 
H
a
(
a
1
; 
a
2
) vektorning mos
koordinatalarini qo‘shish kifoya:
x
2
=
x
1 
+
a
1
; 
y
2
=
y
1
+
a
2
.
M a s a l a .
A
(
−
1; 5) nuqta 
H
a
(2; 
−
3) vektorning boshi bo‘lsa, bu vektor oxiri
B
ning koordinatalarini toping.
Y e c h i l i s h i
.
Berilgan ma’lumotlarni so‘nggi munosabatlarga qo‘yib, izla-
nayotgan koordinatalarni topamiz: 
x
2
=
−
1 
+
2 
=
1, 
y
2
=
5 
+
(
−
3) 
=
2.
J a v o b : 
B
(1; 2).
549.
1) Koordinatalar o‘qidagi birlik vektorlar qanday belgilanadi?
2) Boshi koordinatalar boshida bo‘lgan vektorning koordinatalari
nimaga teng?
550.
Vektorlarning koordinatalarini yozing:
1) 
=
H
H
H
4 – 5
a
i
j
;
2) 
=
+
H
H
H
4
5
a
i
j
; 3) 
= −
H
H
7
b
j
;
4)
= −
H
H
3
c
i
.
551.
1)
A
(2; 5) va
B
(4; 2); 2)
A
(3; 
−
4) va
B
(1; 
−
6); 3)
A
(
−
5; 
−
3) va
B
(
−
1; 3)
nuqtalar berilgan. 
KKKH
AB
vektorning koordinatalarini toping.
552.
1) 
A
(
−
3; 0) va 
B
(5; 
−
4); 2) 
A
(0; 
−
4) va 
B
(7; 
−
2) nuqtalar berilgan.
KKKH
BA
va 
KKKH
AB
vektorlarning koordinatalarini toping.
553.
B e r i l g a n : 
A
(1;
−
1), 
B
(2; 0), 
C
(
−
1; 3). Agar: 1) 
=
KKKH KKKKH
B
D
A
C
;
2)
=
KKKKH KKKKH
A
D
B
C
bo‘lsa, 
D
nuqtaning koordinatalarini toping.
y
A
2
y
2
y
1
A
1
y
2
–y
1
x
x
1
x
2
x
2
–x
1
O
245
Savol, masala va topshiriqlar

---

144
554.
A
(5; 
−
3) nuqta 
a
H
(
−
7; 
−
8) vektorning boshi bo‘lsa, bu vektor oxiri
(
B
) ning koordinatalarini toping.
555.
A
(
−
1; 
−
3), 
B
(2; 
−
4), 
C
(
−
3; 
−
1) va 
D
(5; 2) nuqtalar berilgan. 
KKKKH
A
C
va
KKKKH
D
B
vektorlar tengmi?
556.
Agar: 1) 
A
(
−
2; 
−
3), 
B
(
−
3; 
−
1); 2) 
A
(
m
; 
n
), 
B
(
−
m
; 
−
n
) bo‘lsa, 
KKKH
BA
vektorning koordinatalari nimaga teng bo‘ladi?
Bizga 
a
H
(
x
1
, 
y
1
) va 
b
H
(
x
2
, 
y
2
), ya’ni vektorlar koordinatalari bilan berilgan
bo‘lsin. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni qo‘shish, ayirish va songa
ko‘paytirish amallari bilan tanishamiz.
1. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni qo‘shish.
Avval sodda holni qaraylik. 
a
H
va 
b
H
vek-
torlar 
Ox
o‘qiga kollinear bo‘lsin. Bunda
y
1
=
y
2
=
0, 
a
H
(
x
1
)
=
x
1
·
i
H
v a 
b
H
(
x
2
)
=
x
2
·
i
H
(246- rasm).
Bu yerda 
a
H
+
b
H
vektorning moduli
a
H
va 
b
H
vektorlarning modullari yig‘indisiga
teng bo‘ladi va 
a
H
+
b
H
vektor ham 
Ox
o‘qi-
ga kollinear. Shuning uchun
a
H
+
b
H
= 
(
x
1
+
x
2
)
i
H
.
Demak, yig‘indi vektor 
a
H
+
b
H
vektorning koordinatasi qo‘shiluvchi 
a
H
va 
H
b
vektorlarning mos koordinatalari yig‘indisiga teng ekan. Kollinear vektorlarni
qo‘shish uchun ularning mos koordinatalarini qo‘shish kifoya.
Endi ixtiyoriy 
a
H
(
x
1
, 
y
1
) va 
b
H
(
x
2
, 
y
2
) vektorlar yig‘indisini ko‘raylik:
+ =
⋅ +
⋅
+
⋅ +
⋅
= ⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅ =
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
1
1
2
2
1
1
2
2
(
) (
)
a
b
x i
y j
x i
y
j
x i
y j
x i
y
j
=
+
+
+
H
H
2
1
2
(
)
(
)
x
x i
y
y j
.
Demak, 
+
H
H
a
b
vektorning koordinatalari 
+
+
1
2
1
2
(
;
)
x
x
y
y
ga teng.
Shunday qilib, 
vektorlarni qo‘shish uchun ularning mos koordinatalarini qo‘-
shish kifoya ekan.
1- m a s a l a .
a
H
(3; 5) va 
b
H
(2, 7) vektorlar yig‘indisini toping.
Y e c h i l i s h i
.
(3
;
5) 3
5
a
i
j
=
+
H
H
H
;
(
2
;
7)
2
7
b
i
j
=
+
H
H
H
;
(
)
(
)
3
2
5 7
5
1
2
a
b
i
j
i
j
+ =
+
+
+
=
+
H
H
H
H
H
H
.
4 5- m a v z u . KOORDINATALARI BERILGAN VEKTORLAR
USTIDA AMALLAR
y
x
O
i
H
j
H
a
H
(x
1
)
b
H
(x
2
)
246

---

145
Demak, 
+
H
H
a
b
vektorning koordinatalari (5; 12) ga teng.
Bu masala yechimini koordinatalar tekisligida tekshirib ko‘ring.
2. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni ayirish.
Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni ayirish uchun ularning mos koordi-
natalarini ayirish kifoya, ya’ni:
(
) (
) (
)
−
=
−
−
H
H
H
1
1
2
2
1
2
1
2
;
;
;
a
x
y
b
x
y
c
x
x
y
y
.
2- m a s a l a .
a
H
(
−
3; 5) va 
b
H
(3; –3) vektorlar ayirmasini toping.
Y e c h i l i s h i
.
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
−
=
− −
− −
=
−
H
H
H
H
3;5
3; 3
3 3; 5 ( 3)
6; 8
a
b
c
c
.
3. Koordinatalari bilan berilgan vektorni songa ko‘paytirish.
Koordinatalari bilan berilgan vektorni songa ko‘paytirish amali bilan tani-
shamiz.
a
H
(
x
1
, 
y
1
) vektorning 
k
songa ko‘paytmasi 
b
H
=
k
a
H
ni topamiz:
b
H
=
(
)
⋅ = ⋅
+
=
+
=
H
H
H
H
H
H
1
1
1
1
1
1
(
)
;
.
k
a
k
x
i
y j
k
x
i
k
y j
b
k
x
k
y
Demak, 
vektorni songa ko‘paytirish uchun uning koordinatalarini shu songa
ko‘paytirish yetarli ekan.
3- m a s a l a .
a
H
(3; 5) vektorga qarama-qarshi 
b
H
vektorni toping.
Y e c h i l i s h i
.
a
H
vektorga qarama-qarshi 
b
H
vektor quyidagiga teng:
b
H
= −
a
H
=
(
−
1)
a
H
= −
1 ·
a
H
(3; 5)
= 
b
H
(
−
1 · 3; 
−
1 · 5)
=
b
H
(
−
3; 
−
5).
Demak, 
a
H
(3; 5) va 
b
H
(
−
3; 
−
5) vektorlar qarama-qarshi vektorlardir.
Umuman: 
= − = −
⋅ +
⋅
= − ⋅ −
⋅ = −
−
H
H
H
H
H
H
H
1
1
1
1
1
1
(
)
(
;
)
b
a
x i
y j
x i
y j
b
x
y
.
4- m a s a l a .
Agar 
a
H
(
−
3; 4) bo‘lsa, 
b
H
=
4
a
H
vektorning koordinatalarini
toping.
Y e c h i l i s h i
.
b
H
=
4
a
H
=
4 ·
a
H
(
−
3; 4)
=
b
H
(4 · (
−
3); 4 · 4) 
=
b
H
(
−
12; 16).
557.
1) Vektorning koordinatalari deganda nimani tushunasiz?
2) Koordinatalari berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar qanday baja-
riladi?
558.
Agar
a
H
(
−
4; 8) va 
b
H
(1; 
−
4) bo‘lsa, shu vektorlar: 1) yig‘indisining;
2) ayirmasinining koordinatalarini toping.
559.
a
H
(
−
2; 6) va 
b
H
(
−
2; 4) vektorlar berilgan. 1) 
a
H
+
b
H
; 2) 
a
H
−
b
H
;
3)
b
H
−
a
H
; 4)
−
a
H
−
b
H
vektorning koordinatalarini toping.
Savol, masala va topshiriqlar

---

146
560.
a
H
(2; 3) va 
b
H
(
−
1; 0) vektorlar berilgan. 1) 2
a
H
+
b
H
; 2) 
a
H
−
3
b
H
;
3) 2
b
H
−
a
H
; 4)
−
2
b
H
−
4
a
H
vektorning koordinatalarini toping.
561.
a
H
(2;
−
3) va 
b
H
(
−
2;
−
3) vektorlar berilgan. 1) 
2
c
a
b
= −
H
H
H
; 2)
= −
+
2
c
a
b
H
H
H
;
3)
= −
−
H
H
H
3
2
c
a
b
vektorning koordinatalarini toping.
562.
= −
−
2
3
a
i
j
H
H
H
va 
= −
2
b
j
H
H
vektorlar berilgan.
1)
2
c
a
b
=
−
H
H
H
; 2)
= −
+
H
H
H
4
3
c
a
b
vektorning koordinatalarini toping.
563.
j
i
a
H
H
H
2
2
+
−
=
va 
3