140
T e o r e m a .
2. Uchburchakning orta chizigi haqidagi teorema.
Uchburchakning orta chizigi uning uchinchi tomoniga parallel, uning
uzunligi esa bu tomon uzunligining yarmiga teng.
I s b o t .
EF
kesma
AB
C
uchburchakning orta chizigi
(243- rasm).
EF
||
A
C
va
=
1
EF
BC
ekanini isbotlaymiz.
Dastlab teoremani vektor korinishida yozamiz.
E
nuqta
AB
C
uchburchak
AB
tomonining ortasi,
F
esa
A
C
tomonining ortasi bolsin (243- rasm). Unda
=
KKKK
H
KKK
H
1
A
E
AB
va
=
KKK
H
KKKK
H
1
2
A
F
AC
.
Bular teorema shartining vektor korinishidagi yozuvidir.
Endi uni isbotlashga otamiz.
=
−
=
−
=
−
=
KKK
H
KKK
H
KKKK
H
KKKK
H
KKK
H
KKKK
H
KKK
H
KKKK
H
1
1
1
1
(
)
EF
A
F
A
E
AC
AB
AC AB
BC
.
Shunday qilib,
=
KKK
H
KKKK
H
1
EF
BC
vektor tenglikni hosil qildik. Endi uni geometrik
talqin qilish qoldi, xolos.
B i r i n c h i d a n , bu tenglikdan
KKK
H
EF
va
KKKKH
B
C
vektorlar yonalishdosh ekani
kelib chiqadi, va demak,
EF
||
B
C
.
I k k i n c h i d a n , bu tenglikdan
=
KKKKKH
KKKH
1
EF
BC
kelib chiqadi.
Bundan esa
EF
orta chiziq
B
C
tomonning yarmiga tengligi ravshan. Shunday qilib, uch-
burchakning orta chizigi haqidagi har ikkala tasdiqni isbotladik.
Keltirilgan isbotdan korinib turibdiki, masala va teoremalarni vektor usuli
bilan yechish masalalarni algebraik yechishga oxshaydi. Bu masalani yechishning
bir tomonidir va u uch bosqichdan iborat.
Birinchi bosqich.
Masala (teorema) shartini vektor korinishida yozish va qu-
lay vektorlarni kiritish (oxshashlik nomalumlarni kiritish va algebraik tengla-
mani tuzish).
Ikkinchi bosqich.
Vektor algebrasining vositalari orqali masala sharti shunday
almashtiriladiki, masalani vektor korinishida yechish imkoniyati bolsin (ox-
shashlik algebraik tenglamani yechish).
Uchinchi bosqich.
Olingan vektor munosabat dastlabki atamalarda talqin qili-
nadi (oxshashlik tenglamani algebraik yechgandan song, javobni yozish).
A
B
C
E
F
243
141
537.
C
nuqta
AB
tomonning ortasi. Ifodalang:
1)
KKKKH
A
C
vektorni
KKKH
C
B
vektor orqali; 2)
KKKH
AB
vektorni
KKKH
C
B
vektor orqali;
3)
KKKKH
A
C
vektorni
KKKH
BA
vektor orqali.
538.
C
nuqta
AB
kesmani
A
uchidan boshlab hisoblaganda 1 : 3
nisbatda
boladi. Ifodalang: 1)
A
C
KKKK
H
vektorni
C
B
KKK
H
vektor orqali; 2)
AB
KKK
H
vektorni
C
A
KKK
H
vektor orqali; 3)
C
B
KKK
H
vektorni
KKKH
BA
vektor orqali.
539.
AB
va
C
D
kesmalar: 1)
AB
=
C
D
; 2)
AB
=
2
C
D
ekani vektor tilida qan-
day yoziladi?
540.
AA
1
,
BB
1
va
CC
1
kesmalar
AB
C
uchburchakning medianalari.
KKKKH
AA
,
KKKKH
BB
,
KKKKH
CC
vektorlarni
=
KKKKH
H
a
A
C
va
=
H KKKH
b
)*
vektorlar orqali ifodalang.
541.
Ifodalarni soddalashtiring:
1)
(
) (
)
+
+
+
KKKH KKKKH
KKKH KKKH
AB AC
BA CB
;
2)
−
−
+
KKKH KKKKH KKKH KKKH
AB
D
B
C
A
D
A
.
542.
AB
v a
C
D
kesmalar
O
nuqtada kesishadi.
AO
= 2
OB
v a
O
D
= 2
O
C
.
Vektordan foydalanib,
B
C
||
A
D
va
1
BC
A
D
=
ekanini isbot qiling.
543.
AB
C
D
parallelogramm va uning diagonallari kesishgan
O
nuqta beril-
gan.
+
=
+
KKKH KKKKH KKKH KKKH
OA O
C
OB O
D
ekanini isbotlang.
544.
AB
C
D
parallelogramm va shu parallelogrammdan tashqarida yotuvchi
ixtiyoriy
O
nuqta berilgan.
1)
KKKH
O
D
vektorni
KKKH
OA
,
KKKH
OB
va
KKKKH
O
C
vektorlar orqali ifodalang.
2)
+
=
+
KKKH KKKKH KKKH KKKH
OA O
C
OB O
D
ekanini isbotlang.
545.
E
v a
F
nuqtalar
AB
C
D
tortburchakning
A
C
v a
B
D
diagonallarining
ortasi.
(
)
=
+
1
2
EF
A
D
CB
KKKH
KKKH KKKH
ekanini isbotlang.
546.
AB
C
D
parallelogramm
diagonallari
O
nuqtada kesishadi,
P
nuqta
OB
ning ortasi.
AP
KKK
H
vektorni
=
KKKH H
AB
a
va
=
KKKKH H
A
C
b
vektorlar orqali ifo-
dalang.
547.
AB
C
D
rombda
N
nuqta
C
D
tomonning ortasi.
KKKKH
A
N
vektorni
KKKH
AB
v a
KKKKH
A
D
vektorlar orqali ifodalang.
548.
AB
C
uchburchakda
AA
1
mediana,
O
AA
1
ning ortasi.
BO
KKKK
H
vektorni
a B A
=
KKK
H
H
va
b B
C
=
H
KKKK
H
vektorlar orqali ifodalang.
Savol, masala va topshiriqlar
142
Tekislikda
xOy
Dekart koordinatalar sistemasi, yani koordinatalar boshi
O
nuqta, koordinata oqlarining yonalishi va masshtab birligi
birlik kesma
berilgan bolsin. Bunda tekislikdagi ixtiyoriy
A
nuqta ozining abssissasi
x
v a
ordinatasi
y
ga ega boladi:
A
(
x
;
y
). Moduli bir birlikka ega bolgan hamda
yonalishi
Ox
oqi boyicha yonalgan birlik vektorni
i
H
bilan, xuddi shuningdek,
Oy
oqi boyicha yonalgan birlik vektorni
j
H
bilan belgilaymiz (244- rasm).
Tekislikda koordinatalari (
x
;
y
) bolgan
A
nuqta berilgan bolsin.
OA
x
A
uch-
burchakni qaraylik.
Bu uchburchakda
=
+
KKKH KKKKH KKKKKH
x
x
OA OA
A A
. Ammo
OA
x
=
x,
A
x
A
=
OA
y
=
y
bolgani uchun
= ⋅
KKKKH
H
x
OA
x
i
,
= ⋅
KKKKKH
H
x
A A
y j
boladi. Bundan
=
= ⋅ + ⋅
KKKH
H
H
H
a
OA x i
y j
(1)
tenglikni hosil qilamiz. Bu (1) tenglik vektorning
koordinata ifodasi
deb ataladi.
Demak, boshi koordinatalar boshida, uchi
A
(
x
;
y
) nuqtada bolgan vektorni
koordinata oqlari boyicha yonalgan
i
H
v a
j
H
vektorlar orqali (1) korinishda
yozish mumkin ekan.
Bunda (
i
H
;
j
H
) vektorlar juftligi
bazis
vektorlar
,
x
v a
y
sonlar esa
a
H
vektorning
koordinatalari
deb ataladi.
Agar vektorning (1) koordinata ifodasi malum bolsa, vektor koordinatalari
bilan berilgan deyiladi va qisqacha
a
H
(
x
;
y
) shaklida yoziladi:
= ⋅ + ⋅
H
H
H
(
;
)
a
x
y
x i
y j
.
(2)
T a r i f .
Agar A
1
(
x
1
;
y
I
)
va A
2
(
x
2
;
y
2
)
bolsa, x
2
−
x
1
va y
2
−
y
1
sonlar
1 2
A A
KKKKKH
vektorning koordinatalari deyiladi
(245- rasm).
Belgilanishi:
(
)
−
−
KKKKKH
1 2
2
1
2
1
;
) )
x
x
y
y
.
Q o i d a .
Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxirining koordina-
talaridan boshining mos koordinatalarini ayirish kifoya.
44- mavzu.
VEKTORNING KOORDINATALARI
j
H
Do'stlaringiz bilan baham: