1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

a
b
A
B
0
AB
=
KKKH
H
, ya’ni 
A
=
B
nol vektor
220
221
A
B
|
=
H
|
A
B
C
D
b
KH
A
B
C
D
=
H
=
H
222
223
224

---

131
KKKH
AB
v a 
KKKH
CD
vektorlar: 1)
yo‘nalishdosh 
bo‘lsa
, 
ular 
KKKH
AB
↑↑
KKKH
CD
kabi;
2)
qarama-qarshi yo‘nalgan
bo‘lsa, 
KKKH
AB
↑↓
KKKH
CD
kabi belgilanadi.
Nol vektor istalgan vektorga kollinear deb hisoblanadi.
5- t a ’ r i f .
Agar 
=
H
va 
b
H
vektorlarning uzunliklari teng va yo‘nalishlari
bir xil bo‘lsa, bu vektorlar 
teng vektorlar
deb ataladi.
Shunday qilib, agar |
H
a
|
=
|
b
H
| va 
a
H
↑↑
b
H
bo‘lsa, 
a
H
va
b
H
vektorlar teng bo‘ladi. Vektorlarning tengligi
H
a
=
H
b
shaklida yoziladi.
Vektorlarning tengligi uning boshi tekislikning ix-
tiyoriy nuqtasida bo‘la olishini ko‘rsatadi (225-rasm),
ya’ni vektorning modulini o‘zgartirmay, yo‘nalishini
saqlagan holda uning boshini tekislikning istalgan nuq-
tasiga ko‘chirish mumkin. Buni 
vektorni parallel ko‘chi-
rish xossasi
deb ataladi.
M a s a l a .
AB
CD
parallelogramm uchlari juftligi nechta turli vektorni
beradi (226- rasm)?
J a vo b : sakkizta turli vektorni beradi: 
AB
KKKH
, 
BA
KKKH
, 
A
D
KKKH
, 
D
A
KKKH
, 
A
C
KKKKH
, 
C
A
KKKH
,
KKKH
B
D
, 
KKKKH
D
B
.
505.
1) Vektor nima? Vektorlar qanday belgilanadi?
2) Qanday vektorlar bir xil (qarama-qarshi) yo‘nalgan vektorlar deyi-
ladi? Vektorning moduli nima?
3) Qanday ikki vektor teng deyiladi?
506.
AB
CD
to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan. Uning uchlari bilan berilgan barcha
vektorlarni yozing. Ular ichidan qaysilari: 1) 
A
C
to‘g‘ri chiziqda yotadi?
2) 
CD
to‘g‘ri chiziqqa parallel?
507.
AB
CD
parallelogrammning diagonallari 
O
nuqtada kesishadi. Uning
uchlari va diagonallari kesishish nuqtasi bilan belgilangan vektorlarni
yozing. Ular ichidan qaysilari: 
KKKH
AB
, 
KKKKH
B
C
va 
KKKKH
B
O
vektorlarga kollinear?
508.
AB
CD
parallelogrammda 
KKKKH
A
D
v a 
KKKKH
B
C
vektorlarning tengligini isbotlang.
509.
AB
CD
– parallelogramm. 226- rasmda
tasvirlangan vektorlar ichidan: 1) kol-
linear; 2) yo‘nalishdosh; 3) qarama-
qarshi yo‘nalgan; 4) teng uzunliklarga
ega bo‘lgan vektorlar juftlarini ko‘rsa-
ting.
=
H
A
B
C
a
H
a
H
225
Savol, masala va topshiriqlar
A
c
H
D
B
C
e
H
a
H
b
O
226

---

132
510.
AB
CD
– to‘g‘ri to‘rtburchak. Quyidagi yozuvlardan qaysi biri ma’noga
ega:
1) 
KKKKH
A
D
< 
KKKKH
A
C
;
3) 
KKKKH
A
C
=
KKKH
B
D
;
5) 
KKKH
AB
=
KKKKH
DC
;
2) 
KKKKH
A
D
< 
KKKKH
A
C
;
4)
KKKKH
A
C
=
KKKH
B
D
;
6)
KKKH
AB
=
KKKKH
DC
?
511.
Agar: 1) 
KKKKH
A
D
=
KKKKH
B
C
v a 
=
KKKKH
KKKKH
A
D
DC
; 2) 
↑↑
KKKKH
KKKKH
)
D
*
C
, 
KKKH
AB
v a 
KKKKH
DC
vektorlar esa nokollinear bo‘lsa, 
AB
CD
to‘rtburchakning turini aniqlang.
512.
KKKH
AB
=
KKKH
CD
ekanligi ma’lum. Ushbu tasdiqlar to‘g‘rimi:
1) 
AB
||
CD
;
2) |
AB
| 
=
|
CD
| ?
513.
AB
CD
parallelogrammning diagonallari 
O
nuqtada kesishadi. 1)
KKKH
AB
vek-
tor bilan yo‘nalishdosh; 2) 
KKKKH
A
C
vektorga yo‘nalishdosh; 3) 
KKKKH
D
O
vektor
bilan qarama-qarshi yo‘nalgan vektorlarni yozing.
514.
AB
CD
to‘g‘ri to‘rtburchakda 
AB
= 3 sm, 
B
C
= 4 sm, 
E
– 
AB
tomon-
ning o‘rtasi. 
KKKH
AB
, 
KKKKH
B
C
, 
KKKKH
DC
, 
KKKH
E
A
, 
KKKH
C
B
, 
KKKKH
A
C
vektorlarning uzunliklari-
ni toping.
515.
KKKH
AB
va 
KKKH
BA
vektorlarning yo‘nalishi haqida nima deyish mumkin?
1. Vektorlarni qo‘shish.
Bizga 
H
a
va 
b
H
vektorlar berilgan bo‘lsin (227-
a
rasm).
Ixtiyoriy 
A
nuqtani belgilaymiz va bu nuqtadan 
a
H
vektorga teng 
KKKH
AB
vektorni
qo‘yamiz. So‘ngra 
B
nuqtadan 
b
H
vektorga teng 
KKKKH
B
C
vektorni qo‘yamiz.
Endi 
=
H
vektorning boshi 
A
nuqtadan 
b
H
vektor uchi 
C
ga yo‘nalgan vektor
o‘tkazamiz (227-
b
rasm). 
KKKKH
A
C
vektor
a
H
v a 
b
H
vektorlarning yig‘indisi
deyiladi.
Vektorlarni qo‘shishning bu qoidasi «
ucburchak
(
uch nuqta
) 
qoidasi
» deyiladi.
a
H
va 
b
H
vektorlarning yig‘indisi 
a
H
+ 
b
H
kabi belgilanadi.
Uchburchak qoidasini quyidagicha ifodalasak ham bo‘ladi:
agar
A
, 
B
va
C
ixtiyoriy nuqtalar bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli:
KKKH
AB
+
KKKKH
B
C
=
KKKKH
A
C
4 1- m a v z u .
VEKTORLARNI QO‘SHISH VA AYIRISH
a
H
b
KH
a
H
b
b
a
H
H
+
A
B
C
a
b
A
B
C
A
C
B
C
AB
=
+
d
227

---

133
Uchburchak qoidasi istalgan 
A
,
B
v a 
C
nuqtalar uchun, shu bilan bir
qatorda ulardan ikkitasi yoki uchtasi ustma-ust tushganda ham o‘rinli bo‘ladi
(227-
d
rasm).
2. Vektorlarni qo‘shish qonunlari.
Ma’lumki, parallelogrammning qarama-
qarshi tomonlari o‘zaro teng va parallel. Agar yo‘nalishlari bir xil bo‘lsa, paral-
lelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng vektorlarni ifodalaydi.
a
H
v a 
b
H
– nokollinear vektorlar bo‘lsin. Ixtiyoriy 
A
nuqtadan 
KKKH
AB
=
H
a
v a
A
D
KKKKH
= 
b
H
vektorlarni qo‘yamiz hamda tomonlari shu vektordan tuzilgan
AB
CD
parallelogrammni yasaymiz (228- rasm). Uchburchak qoidasiga ko‘ra:
KKKKH
A
C
=
KKKH
AB
+
KKKKH
B
C
= 
a
H
+
b
H
v a 
KKKKH
A
C
=
A
D
KKKKH
+
KKKKH
DC
= 
b
H
+
a
H
.
Bulardan 
a
H
+
b
H
=
b
H
+
a
H
kelib chiqadi.
Demak, vektorlar yig‘indisi ularning qanday tartibda ketma-ket joylashishiga
bog‘liq emas, ya’ni 
istalgan 
=
H
va 
b
H
vektorlar uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
=
H
+
b
H
= 
b
H
+
=
H
.
Bunga vektorlarni qo‘shishning 
o‘rin almashtirish qonuni 
deyiladi
.
a
H
va 
b
H
vektorlardan tuzilgan 
AB
CD
parallelogrammda yig‘indi 
KKKKH
A
C
vektor
qo‘shiluvchi vektorlarning umumiy boshidan chiquvchi diagonaldan iborat.
Odatda, vektorlarni bunday qo‘shish vektorlarni qo‘shishning «
parallelogramm
qoidasi
(
usuli
)» deyiladi (228- rasm).
Endi uchta 
a
H
, 
b
H
va 
c
H
vektorlar yig‘indisini ko‘raylik. Ixtiyoriy 
A
nuqtadan
KKKH
AB
=
H
a
vektorni, 
B
nuqtadan 
KKKKH
B
C
=
b
H
vektorni, 
C
nuqtadan esa 
KKKH
CD
=
c
H
vektorni qo‘yamiz (229-rasm). Uchburchak qoidasini qo‘llab, ega bo‘lamiz:
( )
(
)
+
+ =
+
+
=
+
=
H
H
KKKH KKKKH
KKKH KKKKH KKKH KKKKH
H
;
=
b
c
AB B
C
CD
A
C CD
A
D
( )
(
)
+
+
=
+
+
=
+
=
H H
KKKH
KKKKH KKKH
KKKH KKKH KKKKH
H
.
=
b
c
AB
B
C CD
AB B
D
A
D
Bundan, 
istalgan
a
H
, 
b
H
va 
c
H
vektorlar uchun
(
)
+
+
a b
c
H
H
H
= 
(
)
+
+
=
b
c
H H
H
tenglik o‘rinli ekani kelib chiqadi
. Bu vektorlarni qo‘shishning 
guruhlash qonuni
(
xossasi
)
dir
.
Vektorlarning har biri noldan farqli bo‘lganda ularning yig‘indisi nol vektor
bo‘lishi mumkin. Masalan, 
AB
C
uchburchakni qaraylik (230- rasm). Bunda 
KKKH
AB
,
a
H
b
H
a
H
b
H
A
B
C
D
A
D
B
C
a
H
b
H
c
H
b
a
H
H
+
c
b
H
H
+
c
b
a
H
H
H
+
+
b
=
H
H
+
=
b
H
H
+
A
B
C
228
229
230

---

134
KKKKH
B
C
va 
KKKH
C
A
vektorlar yig‘indisi nol vektor bo‘ladi, ya’ni: 
KKKH
AB
+
KKKKH
B
C
+
KKKH
C
A
=
0
H
,
chunki birinchi vektorning boshi bilan uchinchi vektorning uchi ustma-ust
tushdi. Demak, yig‘indi vektor nol vektor – nuqta bo‘ldi.
1- t a ’ r i f .
Ikki vektorning yig‘indisi nol vektor bo‘lsa, ular 
qarama-qarshi
vektorlar
deb ataladi.
Demak, agar 
a
H
+
b
H
=
0
H
bo‘lsa, u holda 
b
H
=
KKKH
BA
vek-
tor 
a
H
=
KKKH
AB
vektorga (va aksincha) 
qarama-qarshi vektor
deyiladi va 
b
H
= −
a
H
, 
a
H
= −
b
H
kabi yoziladi (231-rasm).
Agar qarama-qarshi vektorlarni (uchburchak qoidasi bo‘-
yicha) qo‘shsak, u holda nol vektor kelib chiqadi. Bunda
|
=
H
|
=
|
b
H
|, 
=
H
v a 
b
H
vektorlar parallel bo‘lib, turli tomonga
yo‘nalgan bo‘ladi. Demak, 
har bir 
=
H
vektor uchun unga qarama-qarshu
−
=
H
vektor mavjud 
(
ya’ni
a
H
+
(
−
a
H
)
=
0
H
) 
bo‘ladi
. Yuqoridagi mulohazalardan quyi-
dagi xulosa kelamiz:
agar nol bo‘lmagan ikki vektorning uzunliklari teng va ular qarama-qarshi
yo‘nalgan bo‘lsa, ular 
qarama-qarshi vektorlar
deyiladi.
Nol vektor o‘ziga-o‘zi qarama-qarshi vektor hisoblanadi.
3. Vektorlarni ayirish.
Vektorlarni ayirish xuddi sonlarni ayirish kabi qo‘-
shishga teskari amaldir.
2- t a ’ r i f .
a
H
va 
b
H
vektorlarning ayirmasi
deb, shunday 
c
H
vektorga ay-
tiladiki, uning 
b
H
vektor bilan yig‘indisi 
a
H
vektorni beradi: 
c
H
+
b
H
=
a
H
.
a
H
va
b
H
vektorlarning ayirmasi xuddi sonlarning ayirmasi kabi belgilanadi: 
a
H
−
b
H
.
Ikki vektorning ayirmasi birinchi vektorga ikkinchi vektorga qarama-qarshi
vektorni qo‘shish sifatida aniqlanadi va u 
a
H
+
(
−
b
H
) vektorga teng (232-
b
rasm).
Bizga 
a
H
va 
b
H
vektorlar berilgan bo‘lsin (232-
a
rasm). 
a
H
vektor bilan 
b
H
vek-
torga qarama-qarshi bo‘lgan (
−
b
H
) vektorning yig‘indisini ko‘raylik.
Istalgan 
a
H
va
b
H
vektorlar uchun 
a
H
−
b
H
=
a
H
+
(
−
b
H
) 
tenglik o‘rinli.
Haqiqatan ham, (
a
H
+
(
−
b
H
)) 
+
b
H
=
a
H
+
((
−
b
H
) 
+
b
H
) 
=
a
H
+
0
H
=
a
H
.
Agar 
a
H
va
b
H
vektorlar bitta 
O
nuqtadan qo‘yilgan bo‘lsa, u holda 
a
H
−
b
H
ayirmani topish uchun quyidagi qoidadan foydalanish qulay (232, 
d
rasm):
BA
O
B
O
A
=
−
a
H
b
H
a
H
b
H
−
b
a
H
H
−
b
H
−
a
H
O
O
A
B