1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

B
A
O
C
40°
211

---

124
2- t e o r e m a .
3- t e o r e m a .
1- t e o r e m a .
1. Urinma bilan vatardan tuzilgan burchak.
Urinma bilan vatardan tuzilgan burchak o‘z ichiga olgan yoyning yarmi
bilan o‘lchanadi.
I s b o t .
AB
urinma va 
BC
vatar bo‘lsin. 
∠
ABC
=
= 
0,5
»
BmC
ekanini isbot qilamiz (212- rasm). Bu-
ning uchun 
C
uchidan 
CD
||
AB
ni o‘tkazsak,
∠
ABC
= ∠
BCD
, chunki ular ichki almashinuvchi
burchaklar. Ammo 
∠
C
=
0,5
»
BnD
va 
CD
||
AB
bo‘l-
gani uchun 
»
BnD
=
»
BmC 
va 
∠
B
= ∠
C
=
0,5
»
BnD
=
= 
0,5
»
BnD
=
0,5
»
BmC
.
2. Ikkita vatarning kesishishidan hosil bo‘lgan
burchaklar.
Ixtiyoriy ikkita vatarning kesishishidan hosil
bo‘lgan har qaysi vertikal burchak ularning to-
monlari tiralgan yoylar yig‘indisining yarmiga teng.
I s b o t .
∠
ABC 
– 
CD
va 
AE
vatarlarning kesi-
shishidan hosil bo‘lgan burchaklardan bittasi bo‘lsin
(213- rasm). 
∠
ABC
=
0,5 (
»
AC
+
»
DE
) ekanini is-
botlaymiz. Buning uchun 
A
va 
D
nuqtalarni birlash-
tiramiz, u holda 
∠
ABC
– 
ABD
ga nisbatan tashqi
burchak bo‘ladi. Demak,
∠
ABC
= ∠
ADC
+ ∠
DAE
. Ammo 
∠
ADC
=
0,5
»
AC
va
∠
DAE
=
0,5
»
DE
. Shuning uchun
∠
ABC
=
0,5
»
AC
+
0,5
»
DE
= 
0,5 (
»
AC
+
»
DE
).
∠
ABD
= ∠
CBE
=
0,5 (
»
AD
+
»
CE
) ekani xuddi yuqoridagidek isbotlanadi.
Bu o‘zingizga havola qilinadi.
3. Aylananing tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki kesuvchi
orasidagi burchak.
Aylananing tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki kesuvchi ora-
sidagi burchak (
ABC
) kesuvchilar orasidagi yoylar (
AC 
va 
DE
) ayirmasining
yarmiga teng.
I s b o t .
B
– aylana tashqarisidagi nuqta, 
BA
va 
BC
kesuvchilar bo‘lsin.
∠
B
=
0,5 (
»
AC
–
»
DE
) bo‘lishini isbotlaymiz. Buning uchun 
A
va 
E
nuqtani bir-
lashtiramiz (214- rasm). 
∠
AEC
burchak
AEB
ga tashqi burchak bo‘ladi. Demak,
∠
AEC
= ∠
B
+ ∠
DAE
, bundan 
∠
B
= ∠
AEC
− ∠
DAE
. Ammo bu tenglikning o‘ng
3 9- m a v z u . AYLANANI KESUVCHI TO‘G‘RI CHIZIQLARDAN
HOSIL BO‘LGAN BURCHAKLARNI O‘LCHASH
A
B
m
n
O
C
D
212
D
O
A
C
B
E
213

---

125
4- t e o r e m a .
tomonidagi burchaklar ularga mos 
AC
va 
DE 
yoy-
larning yarmi bilan o‘lchanadi, ya’ni 
∠
AEC
=
0,5
»
AC
va 
∠
DAE
=
0,5
»
DE
. Va demak, 
ABC
burchak ham
bu yoylarning yarmi bilan o‘lchanadi:
∠
B
=
0,5
»
AC
−
»
DE
=
0,5 (
»
AC
−
»
DE
).
Demak, 
∠
B
=
0,5 (
»
AC
−
»
DE
).
Shuni isbotlash talab qilingan edi.
4. Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki urinma orasidagi
burchak.
Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki urinma orasidagi
burchak 180° bilan urinish nuqtalarini o‘z ichiga olgan yoylardan kichigining
ayirmasiga teng bo‘ladi.
I s b o t . Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan o‘tkazilgan ikki kesuvchi orasi-
dagi burchakni o‘lchash haqidagi 3-teoremaga asosan (192- rasmga q.):
∠
A
=
0,5 (
»
BDC
−
»
BC
)
=
0,5 (360°
−
»
BC
−
»
BC
) 
= 
180°
−
»
BC
,
demak, 
∠
A
=
180°
−
»
BC
bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
486.
1) Urinma bilan vatardan tuzilgan burchak qanday o‘lchanadi?
Ikki vatarning kesishishidan hosil bo‘lgan burchaklar-chi?
2) Ikki kesishuvchi vatar orasidagi burchak nimaga teng?
3) Bir nuqtadan o‘tkazilgan ikki urinma orasidagi burchak nimaga teng?
487.
Aylana radiusiga teng 
AB
vatar 
A
nuqtada o‘tkazilgan urinma bilan
qanday burchaklar hosil qiladi?
488.
AB
vatar 56° li yoyni tortib turadi. Shu vatarning uchlaridan aylanaga
o‘tkazilgan urinmalar bilan vatardan hosil bo‘lgan burchaklarni toping.
489.
AB
kesma aylananing diametri, 
BC
va 
AD
vatarlar esa o‘zaro parallel.
CD
vatar diametr bo‘lishini isbotlang.
490.
Aylanadan tashqaridagi nuqtadan o‘tkazilgan ikki urinmaning urinish
nuqtalari aylanani: 1) 1 : 9; 2) 4 : 15; 3) 7 : 11; 4) 3 : 7 nisbatdagi ikkita
yoyga ajratadi. Urinmalar orasidagi burchakni toping.
491.
Aylanani kesuvchi ikki vatari orasidagi burchaklardan biri 70° ga teng.
Shu burchakka qo‘shni bo‘lgan burchaklarning yig‘indisini toping.
492.
O
markazli aylananing 
AB
va 
CD
vatarlarining davomi 
P 
nuqtada kesi-
shadi (215- rasm). 
∠
P
=
1
(
∠
BOD 
−
∠
AOC
) ekanini isbotlang.