Va avtokorrelyatsiya Corr(X(t), X(t k))

va avtokorrelyatsiya Corr(X(t), X(t - k)), ak sifatida berilgan. Agar α^k musbat bo'lsa (lekin bittadan kam), avtokorrelyatsiya eksponent ravishda pasayadi. Bu erda talqin shundan iboratki, jarayonning har qanday zarbasi keyingi jarayon qiymatlariga ta'sir qiladi, ammo vaqt o'tishi bilan ta'sirning kattaligi kamayadi. Masalan, bir davrdagi inflyatsiya jarayoni sur'atining zarbasi nafaqat shu va keyingi davrdagi, balki undan keyingi davrlardagi inflyatsiya darajasiga ham ta'sir qiladi.
Agar a manfiy bo'lsa, kechikishlar ortib borishi bilan avtokorrelyatsiya belgisini almashtiradi. Shunday qilib, kuzatish va uning bevosita o'tmishdoshi o'rtasidagi avtokorrelyatsiya manfiydir (ya'ni, yuqori oldingi qiymatdan keyin past qiymatga ega bo'lish ehtimoli ko'proq). Kuzatish va oldingi ikkita kechikish o'rtasidagi avtokorrelyatsiya ijobiydir, ya'ni yuqori qiymatdan keyin ikki vaqt oralig'ida yuqori qiymat paydo bo'lishi mumkin.
k ning tartibining oddiy avtoregressiv modeli quyidagicha yozilishi mumkin:

Juda yuqori tartibli avtoregressiv funktsiyalarni o'z ichiga olgan aktiv modellaridan foydalanadigan stokastik aktivlar modellari ishlab chiqilgan bo'lsa-da, aktiv modellarining aksariyati ikkinchi tartibli modellarda qo'llaniladi. Statistik masalalardan tashqari (masalan, keng tarqalgan vaqt seriyalaridan yuqori tartibli parametrlarni baholash qiyinligi), quyi tartibli modellarni talqin qilish va tushunish osonroq.
Shunga qaramay, stokastik aktivlar modellari odatda istiqbolli, "bashoratli" ma'noda qo'llanilganligi sababli, modelni parametrlash uchun faqat tarixiy statistik ma'lumotlardan foydalanish kamdan-kam uchraydi. Foydalanuvchilar o'zlarining (yoki mijozlarining) kelajak haqidagi taxminlariga (ehtimol, stress testlari yoki stsenariy tahlili uchun) asoslangan sozlamalarni o'zgartirishni xohlashadi va agar sozlamalar mavjud bo'lmasa, buni oqilona qilish juda qiyin bo'ladi. etarli qiymat. oddiy iqtisodiy talqin.


17.6 ARIMA MODELLARI
Garchi avtoregressiv modellar (AR modellari) stokastik aktivlar modellarida eng keng tarqalgan model turi bo'lsa-da, ARIMA oilasi deb ataladigan modellar oilasi mavjud bo'lib, ular vaqtga bog'liqliklarning har xil turlarini modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin. ARIMA-dagi AR avtoregressiyani, I integratsiyalashganni va MA harakatlanuvchi o'rtachani anglatadi. Box va Jenkins (1976) ushbu modellarni ommalashtirdi va ularni aniqlash, moslashtirish va mosligini tekshirish metodologiyasini taklif qildi.
Vaqt seriyalari, masalan, inflyatsiya indeksi yoki aktsiya narxi, vaqtga biroz aniq bog'liqlikka ega: indeks darajasi yoki aktsiya narxining qiymati bir davrdan ikkinchisiga taxminan bir xil. Hatto qimmatli qog'ozlar narxlari, garchi o'zgaruvchan bo'lsa ham, juda uzoq vaqt davomida bir xil darajada bo'ladi. Bir davrdan ikkinchisiga indeks (inflyatsiya darajasi) yoki aktsiya bahosi (dividendlardan tashqari aksiya boshiga tushadigan daromad) darajasidagi o'zgarishlar qanday bog'liqligi kamroq ravshan. Shunday qilib, asosiy e'tibor differensiallangan qatorlarga, ya'ni bir davrdan ikkinchisiga o'zgarib turadigan farqlar yoki o'zgarishlar qatoriga qaratiladi. Integratsiyalashgan qatorlar (dastlabki kuzatishlar) farq qatorlari xossalaridan kelib chiqadigan xususiyatlarga ega.
MA modeli sizga butunlay boshqa turdagi vaqtga bog'liqlikni modellashtirishga imkon beradi. Birinchi tartibli MA modeli quyidagicha aniqlanadi:

Qayerda


ϕ – MA parametri.
Jarayonning shartsiz dispersiyasini σ²(l + ϕ²) shaklida olish mumkin. Birinchi tartibli avtokorrelyatsiya Corr(X(t), X(t-1)) = ϕ/(1 + ϕ²), lekin keyingi kechikishlarda korrelyatsiya nolga teng.
MA jarayonining amaliy ahamiyati shundan iboratki, undan bir kuzatuvning zarbasi o‘sha kuzatuvga va keyingi kuzatuvga ta’sir qiladigan, lekin keyingi kuzatuvlarga ta’sir etmaydigan qatorlarni modellashtirishda foydalanish mumkin. MA jarayonida ish tashlashning "umr muddati" uning tartibi bilan belgilanadi - shuning uchun birinchi tartibli MA jarayoni bir umrga ega - umri nazariy jihatdan cheksiz bo'lgan AR jarayonidan farqli o'laroq (garchi uning qiymati eksponent ravishda kamayadi).
ARIMA modellar oilasining o'ziga xos a'zolari odatda ARIMA (p, d, q) sifatida belgilanadi, bu erda p AR modelining tartibini, d farqlar chastotasini va q MA modelining tartibini ko'rsatadi. Shunday qilib, masalan, inflyatsiya indeksi modeli ARIMA (1,1,0) sifatida belgilanishi mumkin, bu birinchi tartibli AR modeli ishlatilganligini, seriyalar bir marta farqlanganligini va hech qanday MA atamalari kiritilmaganligini ko'rsatadi. Shunday qilib, model quyidagicha berilganligini ta'kidlashimiz mumkin:

bu yerda I(t) = Q(t) - Q(t-1) va Q(t) inflyatsiya indeksi. Narxlarning "geometrik" o'sishini modellashtirish uchun I(t) odatda inflyatsiya indeksining logarifmlari orasidagi farq sifatida aniqlanadi. Bunda I(t) narxlar indeksi darajasining o‘zgarishi sifatida emas, balki indeksning doimiy ravishda o‘sib borayotgan o‘zgarish sur’ati, ya’ni doimiy o‘sib boruvchi shakldagi inflyatsiya kuchi sifatida izohlanadi. Matematik jihatdan,
I(t)=log(Q(t))-log(Q(t-1))=log (Q(t)/Q(t-1))
Yokida
Q(t)=Q(t-1)exp(I(t))
Seriya dizayni ARIMA modellari bilan kontseptual jihatdan juda oddiy. Masalan, yuqoridagi inflyatsiya modelini ko'rib chiqing. Agar bizda σ, µ va α ni taxmin qilishimiz va Q(t) va Q(t-1) ni kuzatishimiz va shuning uchun I(t), Q(t+1) ni hisoblashimiz sharti bilan Q(t)× exp(I(t+1)) sifatida prognozlanishi mumkin, bu yerda
I(t+1)=µ+α(I(t)-µ)+σZ
va bu erda Z - oddiy taqsimotdan tasodifiy hosil qilingan raqam (yoki tasodifiy zarbalar uchun qanday taqsimlash tanlangan bo'lsa).