Va avtokorrelyatsiya Corr(X(t), X(t k))

17.9 WILKIE MODEL
Wilkie modeli - bu 1980 yildan boshlab A.D. Uilki tomonidan ishlab chiqilgan va keyinchalik takomillashtirilgan modellar oilasining nomi. Dastlab, hayotni sug'urtalash mahsulotlarining alohida turlari uchun zarur bo'lgan zaxiralarni aniqlash uchun modellar ishlab chiqilgan, ammo keyinchalik hayotni sug'urtalashda keng qo'llanila boshlandi. Buyuk Britaniya va boshqa mamlakatlar pensiya va umumiy investitsiya strategiyasi bo'yicha maslahat berish kabi sohalarda.
Wilkie modeli asosan to'liq nashr etilganligi (va shuning uchun keng muhokama qilingan) va stokastik investitsiya modelining birinchi nashr etilgan rasmiylashtirilishi bo'lganligi sababli mashhurlikka erishdi. Ko'pgina boshqa aktuar konsalting firmalari va investitsiya banklari o'zlarining modellarini ishlab chiqdilar. Ba'zi hollarda ushbu modellarning jihatlari jurnallar va konferentsiyalarda tarqatilgan, ammo asosiy elementlar mulkiy bo'lib qoladi. Wilkie modeli "uzoq muddatli" modellashtirishga qaratilgan. Shu bois, u qoralovchilar noreal deb atagan ba'zi xususiyatlarni o'z ichiga oladi va biz ulardan birini o'z vaqtida muhokama qilamiz.
Wilkie modeli, shuningdek, har yili oraliqda narxlar va daromadlarni modellashtirish ma'nosida diskret modeldir. Yil boshida bir qiymatdan boshqasiga yil oxirida narx qanday o'zgargani haqida hech narsa aytilmagan. Bu cheklovlarga ega, chunki u yil davomida har qanday xavf yoki imkoniyatni e'tiborsiz qoldiradi va variantlar kabi vositalarni kiritish qiyin. Ba'zi tadqiqotchilar, masalan, uzluksiz jihatlarni hisobga olgan holda modelni kengaytirishga harakat qilishdi. Kemp (1999) va Chan (1998).
Diskretlashtirishning afzalligi shundaki, uni matematik jihatdan aniqlash osonroq va pensiya jamg'armalari kabi muassasalarning aktivlari amalda qanday kuzatilishiga mos kelishi mumkin.
Wilkie modeli asosan statistik modeldir, chunki uning tuzilishi ma'lumotlarni tahlil qilish va standart vaqt seriyalari modellarini ma'lumotlarga moslashtirish orqali aniqlanadi. Biroq, modelning taxmin qilingan parametrlari, qoida tariqasida, "sozlangan". Ba'zi hollarda, masalan. ayirboshlash kurslari, iqtisodiy nazariyaga asoslangan munosabatlar, ma'lumotlar tahlili boshqacha fikr bildirishi mumkin bo'lgan taqdirda ham saqlanib qoldi. Boshqa hollarda, statistik xususiyatlar odatiy iqtisodiy tushunchalarga zid bo'lsa ham, saqlanib qoldi.
Biz Wilkie modelining ba'zi elementlarini tavsiflash uchun quyidagi belgilardan foydalanamiz (garchi biz modeldagi ko'plab o'zgaruvchilarni, shu bilan birga bu erda tasvirlanganlar va boshqa o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni o'tkazib yuboramiz):

I(t) - t yil davomida inflyatsiya kuchi;
Y(t) - t yil oxiridagi aksiyalar bo'yicha dividendlar daromadi,
G(f) - t yilidagi dividendlarning o'sish sur'ati va
R(t) - t-yil oxirida qaytarib olinmaydigan indeksli obligatsiyalar bo'yicha real daromadlilik.
Inflyatsiya kuchi AR(1) modeliga muvofiq qabul qilinadi:
I(t) = QMU + QA[I(t -1)- QMU] + QSD x QZ(t)
bu erda QMU inflyatsiyaning uzoq muddatli o'rtacha kuchini ifodalaydi, QK - avtoregressiv parametr, QSD - shartli standart og'ish va QZ(t) - standart normal innovatsiya. Uilki amaliyotchilarga modelni kalibrlash uchun mulohazalardan foydalanishni tavsiya qilsa-da, u parametrlar bo'yicha quyidagi "asosiy holat" tavsiyalarini ham beradi: QMU = 0,047; KK = 0,58; QSD = 0,0425.
Inflyatsiya kuchlarini modellashtirgandan so'ng, narx indeksini osongina yaratish mumkin:
Q(t) = Q(t - 1) x exp{I(t)}.
Aktsiyalar bo'yicha dividend daromadi munosabatlarning bir nechta tarkibiy qismlaridan iborat:
Y(t) = exp{ YW x I(t) + log(YMU) + YZ(t)}
Ko'rsatkichning birinchi hadi inflyatsiya kuchining daromadlarga ta'sirini ifodalaydi; ikkinchi atama "o'rta" atama bo'lib, oxirgi atama qo'shimcha tasodifiy elementni o'z ichiga oladi va o'zi shaklning AR(1) atamasi hisoblanadi.
YN(t) =YA × YN(t - 1)+ YSD × YZ(t),
bu yerda YA avtoregressiv parametr, YSD shartli standart og‘ish, YZ standart normal tasodifiy miqdor.
Shunday qilib, dividend daromadini inflyatsiya kuchining ko'paytmasi va doimiy va avtoregressiv jarayon sifatida ko'rish mumkin.
Wilkie tavsiya etilgan parametr qiymatlari: YMU = 0,0375; I = 0,55; KSD = 0,155 va YW = 1,8.
Dividendlar o'sishining kuchi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
G(t) = DW × DM(t) + DX × I(t) + DMU + DDZ(t),
bu yerda
DDZ(t) = DY × YSD × YZ(t -1) + DB × DSD × DZ(t - 1) + DSD × DZ(t)
va
DM(t) = DD × I(t) + (1 - DD) × DM(t - 1).
Taxminan aytganda, t yilidagi o'sish kuchi DM(t) ning funksiyasi bo'lib, u o'tmishdagi inflyatsiya kuchlarining o'rtacha og'irligi va joriy inflyatsiyaning bir qismi va doimiy (DMU) va juda murakkab "tasodifiy yangilik" ( RDI).
"Tasodifiy innovatsiyalar" haqiqatan ham bir yil oldingi YZ hosil jarayonining tasodifiy innovatsiyalar ulushi, shuningdek, o'sish jarayonining o'tgan yilgi tasodifiy innovatsiyalar ulushi, shuningdek, haqiqiy, yangi, tasodifiy innovatsiyalarning yig'indisidir.
Wilkie tomonidan tavsiya etilgan qiymatlar quyidagicha: DW = 0,58; DX=0,42; DMU = 0,016; DY = – 0,175; DB = 0,57; DSD = 0,07; DD = 0,13.
Keyinchalik o'sish kuchi dividend indeksini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin: D(t) = D(t - 1) × exp(G(Z)) va bu o'z navbatida aktsiya bahosi indeksini hisoblash uchun rentabellik bilan birgalikda ishlatilishi mumkin:
P(t) = D(t)/Y(t)
Haqiqiy foiz stavkasi modeli, shuningdek, AR(1) jarayonini o'z ichiga oladi:
log(R(t)) = log(RMU) + RA[log(R(t–1)) ­­– log(RMU)] + RRZ(t)
bu yerda
RRZ(t) = RBC × CSD × CZ(t) + RSD × RZ(t)
Shuning uchun real foiz stavkasining logarifmi RRZ murakkab innovatsion atamasi bilan AR(1) jarayondir. Innovatsiya muddati - uzoq muddatli nominal foiz stavkasi modeli (biz bu erda muhokama qilmaymiz) va mustaqil innovatsiya muddati uchun innovatsiya muddatining nisbati yig'indisidir.
Tavsiya etilgan parametr qiymatlari: RMU= 0,04; RA = 0,055; RSD = 0,05; RBC = 0,22; C5D = 0,185.
Bir qarashda, hatto Willkie modelining ushbu qisqartirilgan versiyasi ham juda murakkab ko'rinishi mumkin, chunki u juda ko'p parametrlarga va model elementlari o'rtasida ko'plab munosabatlarga ega. Modelni tushunishning eng yaxshi usullaridan biri uni, masalan, elektron jadval yordamida amalga oshirishga harakat qilishdir.
Model xususiyatlari haqida bir nechta umumiy fikrlarni aytish mumkin. Inflyatsiya darajasi modeli juda oddiy o'rtacha reversiya modelidir; yuqori inflyatsiya, qoida tariqasida, saqlanib qoladi, lekin asta-sekin o'rtacha darajaga qaytadi. Xuddi shunday, dividend daromadi joriy inflyatsiya darajasi bilan bog'liq bo'lgan darajaga qaytishni anglatadi. Bir qarashda dividendlar o'sishi tenglamasi eng murakkab ko'rinadi, lekin umuman olganda, dividendlarning o'sishi uzoq muddatli inflyatsiya sur'atlari bilan bog'liq bo'ladi. Haqiqiy foiz stavkasi modeli ham o'rtacha reversiya modelidir, shuning uchun foiz stavkalari, masalan, yuqoriga qarab siljishi va keyin bir necha yil davomida yuqoriligicha qolishi mumkin bo'lsa-da, vaqt o'tishi bilan ular o'rtacha qiymatga qaytishga moyil bo'ladi.