Chegaraviy masala

5-§. Bir o`lchovli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun aralash masalalarni Furye usuli yordamda yechish
1. Bir jinsli tenglama bo`lgan hol.
I chegaraviy masala.
(3.83)
tenglamaning sohada aniqlangan, uzluksiz va
(3.84)
chegagaviy shartlarni hamda
(3.85)
boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping, bu yerda funksiya uzluksiz, bo`lak–bo`lak uzluksiz hosilaga ega va .
Furye usuliga binoan (3.83) tenglamaning xususiy yechimlarini
(3.86)
ko`rinishda izlaymiz [8], [15], [19]. (3.86) ni (3.83) va (3.84) ga qo`yib quyidagilarni
(3.87)
(3.88)
hosil qilamiz [7].
II bobning 7-§i dan ma’lumki, (3.88) masala Shturm – Liuvill masalasi bo`lib, uning xos qiymatlari
(3.89)
lardan, xos funksiyalari esa lardan iboratdir. parametrning
qiymatlariga (3.87) tenglamaning

yechimlari mos keladi, bunda - ixtiyoriy o`zgarmaslar.
Shunday qilib,

funksiyalar (3.83) tenglamani va (3.84) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Boshlang`ich (3.85) shartni qanoatlantirish uchun ushbu
(3.90)
qatorni tuzamiz va

tenglikning bajarilishini talab qilamiz, bunda
, (3.91)
funksiyaga qo`yilgan shartlarga va tengsizlikka asosan (3.90) qator bo`lganda absolyut va tekis
yaqinlashuvchi bo`ladi.
(3.90) va (3.91) dan (3.83), (3.84), (3.85) masalaning yechimini olamiz:
, (3.92)
bu yerda
.
II chegaraviy masala. (3.83) tenglamaning (3.85) boshlang`ich shartni va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
III chegaraviy masala. (3.83) tenglamaning (3.85) boshlang`ich shartni va

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping, bu yerda .