Chegaraviy masala

4. Ikkinchi chegaraviy masalani Furye usuli bilan yechish.
Ushbu
, ,
tenglamaning da aniqlangan, uzluksiz va (2.113),

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Ikkinchi chegaraviy masalaning yechimi ushbu ko`rinishda
bo`ladi:

bu yerdagi va koeffitsiyentlar boshlang`ich shartlardan topiladi:

.
5-misol. tenglamaning
, ,
Boshlang`ich shartlarni hamda

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Qo`yilgan masala (2.115) ga ko`ra va funksiyalarga nisbatan quyidagiga ekvivalent bo`ladi:
,
, , .
Oxirgi Shturm-Liuvill masalasini yechib, uning xos qiymati va xos funksiyani quyidagicha topamiz:
,
Endi har bir lar uchun ga nisbatan yozilgan tenglamaning yechimi quyidagi

ko`rinishda bo`ladi, bu yerda va ixtiyoriy o`zgarmaslar.
(2.115) ga asosan yuqoridagilardan kelib chiqadiki, har bir


funksiya tenglamaning chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi trivial bo`lmagan yechimi bo`lganligi sababli, ( ) yechimlarning cheksiz yig`indisi ham yechim bo`ladi, ya’ni
,
bu yerdagi va koeffitsiyentlar boshlang`ich shartlardan topiladi:




Shunday qilib, qo`yilgan masalaning yechimi ushbu ko`rinishda bo`ladi:


.

5. To`g`ri burchakli membrananing tebranishi
Ushbu
, (2.145)
tenglamaning da aniqlangan, uzluksiz va
, , (2.145.1)
(2.145.2)
boshlang`ich shartlarni hamda
(2.145.3)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bu masalaninig yechimini

ko`rinishda izlab, uchun (2.126) tenglamaga, uchun

tenglamaga va

chegaraviy shartlarga ega bo`lamiz. Bu masalani 1-2 holatlarga o`xshash yechib, uning xos qiymatlari va xos funksiyalarini quyidagi ko`rinishda topamiz:
(2.145.4)
xos funksiyalar ortonormalangan funksiyalarning sistemasini hosil qiladi. Haqiqatan,

(2.145.5)
Endi (2.126) tenglamadan

ega bo`lamiz.
Shunday qilib, qo`yilgan (2.145), (2.145.1), (2.145.2), (2.145.3) masalaning yechimi

(2.145.6)
ko`rinishda aniqlaymiz, bu yerdagi va koeffitsiyentlar
boshlang`ich shartlardan topiladi:
(2.145.7)
(2.145.8)