Vronskiy determinantiga doir misollar

Vronskiy determinantiga doir misollar
y1 va y2 2- tartibli bir jinsli chiziqli (1) y”+ a1y’+a2y=0
tenglamaning xususiy yechimlari bo’lsa, u xolda y=y1+y2 ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi. Agar y (1) tenglamaning yechimi bulsa , u xolda cy ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.Agar х Î [a,b] da (1) tenglamaning 2 ta yechimining nisbat i o’zgarmas miqdorga teng ,
ya’ni
bo’lsa y1 va y2 yechimlar х Î [a,b] da chiziqli erkli yechimlar deyiladi, aks xolda chiziqli bog’lik yechimlar deyiladi .

ko’rinishdagi determinant Vronskiy determinanti deyiladi.

1-misol
y’’+y’-2y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.

Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:
k²+ k-2=0
Uni yechib, k1=1 va k2=-2 topib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz: y =c1e^x + c2e^-2x
Xarakteristik tenglamaning ildizlari k1 va k2 haqiqiy va teng sonlar bo’lsin: k1=k2.
Bu xolda k1=k2=-a/2
Bitta hususiy yechim ma’lum

Ikkinchi xususiy yechimni shaklda izlaymiz:

Bu tengliklarni o’z o’rniga qo’yib quyidagini hosil qilamiz

Uni integrallab u(x)=Ax+ B ni xosil qilamiz. Xususiy xolda, A=1 va B=0 deb olish mumkin: u(x)=x. Demak, ikkinchi xususiy yechim y2 =xe^k1x ko’rinishda buladi. Demak, bu xolda umumiy yechim

2-misol vroniskiy determinantidan foydalanib funksiyalarni chizqli erklilikga tekshiring?

Berilgan funksiyalar dan vroniskiy determinantini tuzamiz.

V roniskiy determinant 0 ga teng bo’lgan hollarda berilgan funksiyalar sistemasi chiziqli bog’liq yoki chiziqli bog’liq emasligi haqida biz narsa deb bo’lmaydi.

Bunday hollarda
Tenglikni teksiramiz . Bundan x=1 da a₁+a₂ =0, x=-1 da esa a₁-a₂ =0 ekanligi kelib chiqadi . Ushbu a₁+a₂ =0 , a₁-a₂ =0
S istema yadona a₁=a₂ =0 yechimga ega . Demak sistema ciziqli erkli bo’ladi .
3 -misol Vroniskiy determinantidan foydalanib funksiyalarni chiziqli erklilikga tekshiring.
Berilgan funksiyalar dan vroniskiy determinantini tuzamiz.

Shunday qilib berilgan tenglamalar sistemasi x>0 da chizqli bog’liq bo’lmaydi. Agar chiziqli bog’liq bo’lganda x ning barcha qiymatlarida W(x)=0 ayniyat bajarilgan bo’lar edi.

4-misol Vroniskiy determinantidan foydalanib funksiyalarni chiziqli erklilikga tekshiring. 4 , ch²x , sh²x, x (-∞,+∞)
Berilgan funksiyalar dan vroniskiy determinantini tuzami

Vroniskiy determinant 0 ga teng bo’lgan hollarda funksiyalar sistemasi chiziqli bog’liq yoki bog’liq emasligiga xususiy xulosa chiqarib bo’lmaydi.

Bunday hollarda 4a₁+a₂ch²x+a₃sh²x=0, x (-∞,+∞)
Tenglikni tekshiramiz . Ma’lumki ch^2x-sh²x=1 ayniyatga ko’ra
4a₁+a₂+(a₂+a₃)sh²x=0,
Bu tenglik a₁=1, a₂=-4 , a₃=4 bo’lganda barcha x (-∞,+∞) da o’rinli.
Demak 4 , ch²x , sh²x, funksiyalar x (-∞,+∞) da chiziqli bog’liq bo’ladi.

5-misol Vroniskiy determinantidan foydalanib funksiyalarni chiziqli erklilikga tekshiring.

Determinant 0 ga aynan teng 8x-8x=0 tenglikdan berilgan funksiyalar o’zaro chiziqli erklibog’langan.