Chegaraviy masala

2. Aralash masalani bir jinsli bo`lmagan tor tenglamasi uchun yechish.
Ushbu
, , (2.133)
tenglamaning da aniqlangan, uzluksiz va (2.113),
(2.134)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bu masalaning yechimi quyidagi
(2.135)
ko`rinishda qidiriladi va , , funksiyalar funksiyalar bo`yicha qatorga yoyiladi [15]:
, ; (2.136)
, ; (2.137)
, . (2.138)
(2.135) va (2.136) ni (2.133) ga qo`yilsa, ga nisbatan

yoki
(2.139)
tenglama hosil bo`ladi.
(2.135) ni (2.137) va (2.138) ga qo`yilsa, funksiyalar uchun
, (2.140)
boshlang`ich shartlar kelib chiqadi.
Endi (2.139), (2.140) masalaning yechimini
(2.141)
ko`rinishda izlaymiz. Bu yerda funksiya

tenglamaning , shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`lib, ushbu

ko`rinishga ega bo`ladi yoki o`rniga uning (2.136) ifodasini
qo`ysak, quyidagini hosil qilamiz:
. (2.142)
funksiya esa tenglamaning , shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`lib, ushbu

yoki (2.137), (2.138)ga ko`ra quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
. (2.143)
Shunday qilib, (2.141), (2.142), (2.143), (2.135) ko`ra (2.133), (2.113) va (2.134) masalaning yechimi ushbu ko`rinishda bo`ladi:

(2.144)
2-misol. tenglamaning
, ,
boshlang`ich shartlarni hamda

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama, boshlang’ich shartlar va chegaraviy shartlarga asosan (2.144) yechimdan foydalanib, quyidagini


hosil qilamiz. Bundan, integrallarni hisoblab, quyidagiga

ega bo`lamiz.
Bundan, agar bo`lsa, , agar bo`lsa, bo`lganligi uchun topilgan yechimni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
.