Chegaraviy masala

IV. sohada quyidagi aralash masalalarning yechimini toping.
545.


546.



7- §. Chegaralangan tor tebranish tenglamasi uchun masalalar. Furye usuli

Furye yoki o`zgaruvchilarni ajratish usuli xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishda keng qo`laniladigan usullardan biridir. Bu usulning mohiyatini tor tebranish tenglamasi uchun bir qator misollarda tekshirib ko`ramiz.

1. Aralash masalani chegaralangan tor tebranish tenglamasi uchun yechish. Ushbu
, , (2.112)
tenglamaning da aniqlangan, uzluksiz va
, (2.113)
boshlang`ich shartlarni hamda
(2.114)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bu yerda , , , , - berilgan funksiyalar; , , , , - berilgan sonlar bo`lib, , , , , , . , , bo`lganda (2.112) dan tor tebranish tenglamasi, , , bo`lganda (2.114) dan mos ravishda I, II, III chegaraviy shartlar kelib chiqadi [5], [8], [15], [19].
Yuqorida qo`yilgan (2.112), (2.113), (2.114) aralash masalani Furyening o`zgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechish mumkin. Bu usulda, asosan, avvalo (2.112) tenglamaning (2.114) shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo`lmagan yechimi
(2.115)
ko`rinishda qidiriladi. (2.115) ni (2.112) ga qo`yish natijasida va funksiyalarga nisbatan
, (2.116)
(2.117)
ko`rinishdagi oddiy differensial tenglamalarga ega bo`lamiz, bu yerda
- noma’lum o`zgarmas parametr.
(2.115) ni (2.114) ga qo`yib, ekanligini e’tiborga olsak, funksiya
, (2.118)
shartlarni qanoatlantirishi zarurligi kelib chiqadi.
Natijada, funksiyaga nisbatan quyidagi masalaga ega bo`lamiz: parametrning shunday qiymatlari topilsinki, bu qiymatlarda (2.117) tenglamaning (2.118) shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo`lmagan yechimlari mavjud bo`lsin.
Odatda, bu masala Shturm-Liuvill masalasi deb atalib, ning topiladigan qiymatlari xos (maxsus) qiymatlar (sonlar), unga mos trivial bo`lmagan yechimlar esa xos (maxsus) funksiyalar deyiladi [7],[15]. Barcha xos qiymatlar to`plami masalaning spektri deyiladi.
(2.117), (2.118) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari quyidagi xossalarga ega:
1. Masala xos qiymatlarining cheksiz to`plami mavjud.
2. Har bir xos qiymatga o`zgarmas ko`paytuvchi aniqligida xos funksiya mos keladi. O`zgarmas ko`paytuvchini shunday tanlash mumkinki, , tenglik o`rinli bo`ladi.
3. Turli xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar kesmada vazn bilan ortogonal bo`ladi, ya’ni
, .
4. va bo`lganda barcha xos qiymatlar musbat bo`ladi, ya’ni , .
5) Steklov teoremasi: -birinchi tartibli uzluksiz, ikkinchi tartibli bo`lak–bo`lak uzluksiz hosilalarga ega va (2.118) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya bo`lsin. U holda bu funksiya (2.117), (2.118) masalaning xos funksiyalari bo`yicha absolyut va tekis yaqinlashuvchi qatorga yoyiladi, ya’ni
, , . (2.119)
(2.117), (2.118) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari topilgandan so`ng, funksiyani topishga o`tiladi. Har bir ni (2.116) tenglamaga qo`yib, uning umumiy yechimi quidagicha

topiladi, bu yerda va ixtiyoriy o`zgarmaslar.
(2.115) ga asosan yuqoridagilardan kelib chiqadiki, har bir
,
funksiya (2.112) tenglamaning (2.114) shartni qanoatlantiruvchi trivial bo`lmagan yechimidan iborat ekan.
(2.113) boshlang`ich shartlarni qanoatlantirish maqsadida
(2.120)
qator tuziladi. Agar bu qator tekis yaqinlashuvchi bo`lib, uni va bo`yicha ikki marta xadlab differensiallash mumkin bo`lsa, uning yig`indisi ham (2.112), (2.113), (2.114) masalaning yechimi bo`ladi.
U holda, (2.113) boshlang`ich shartlar bajarilishi uchun
, (2.121)
(2.122)
tengliklarning o`rinli bo`lishi zarurligi kelib chiqadi.
Agar va funksiyalar Steklov teoremasi shartlarini bajaruvchi funksiyalar bo`lsa, (2.121) va (2.122) - bu funksiyalarning xos funksiyalar bo`yicha yoyilmasidan iborat bo`ladi va (2.119) ga asosan
, ,
tengliklar o`rinli bo`ladi. va larning bu ifodasi (2.120) ga qo`yilsa. (2.112), (2.113), (2.114) aralash masala yechimi hosil bo`ladi.