Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

Список литературы 
1. Никольский С.М. О математике в общеобразовательных школах // 
Образование, которое мы можем потерять — М: МГУ им. Ломоносова, 2002 – 
С. 83-92. 
2. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: 
Кн. для учителя. — М., 2000. 
3. Зайкин Р.М. Реализация профессиональной направленности 
математической подготовки на юридических факультетах: Дис. канд. пед. 
наук. — Н. Новгород, 2004. 
4. Скороходова Т.В. Опыт преподавания математики студентам 
гуманитарных специальностей // Проблемы и перспективы развития 
образования: материалы IV междунар. науч. конф. (г. Пермь, июль 2013 г.). — 
Пермь: Меркурий, 2013. — С. 143-145 
 
 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
303 
ALGEBRANING ASOSIY TEOREMASINING KVATERNION SONLAR 
HALQASIDAGI TAHLILI 
Nurillayev M.E.
Nizomiy nomidagi TDPU Umumiy matematika kafedrasi mudiri 
Usmanova D.S. 
Fizika-matematika fakulteti MOʻM yoʻnalishi 3-kurs talabas 
Ma’lumki, algebraning asosiy teoremasidan kelib chiqadi-ki, kompleks sonlar 
maydoni ustida qaralgan n-darajali (
𝑛 ≥ 1
) ixtiyoriy koʻphad barcha karrali 
ildizlarini qoʻshib hisoblaganda kompleks sonlar maydoni ustida aynan n ta ildizga 
ega. Algebraning asosiy teoremasi koʻphadlar nazariyasida asosiy oʻrin egallaydi va 
bu teorema bir qancha tadbiqlarga ega. Ushbu maqolada algebraning asosiy 
teoremasini kvaternion sonlar halqasi ustida qaraymiz, ya’ni aniqroq aytadigan 
boʻlsak yuqorida ta’kidlangan natija kvaternion sonlar halqasida oʻrinli boʻlish yoki 
boʻlmasligiga aniqlik kiritamiz. Dastlab, kvaternion sonlar halqasi haqida ma’lum 
bo’lgan ma’lumotlarni eslatib oʻtamiz.
Kvaternion sonlar 
𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘
koʻrinishida boʻlib, bu sonlardan 
iborat to’plam odatda 
ℋ
orqali belgilanadi, bunda 
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
– haqiqiy sonlardir. Bu 
toʻplamdan olingan ixtiyoriy ikkita 
𝑞
1
= 𝑎
1
+ 𝑏
1
𝑖 + 𝑐
1
𝑗 + 𝑑
1
𝑘
, 
𝑞
2
= 𝑎
2
+ 𝑏
2
𝑖 +
𝑐
2
𝑗 + 𝑑
2
𝑘
elementlar oʻrtasida qoʻshish “+” va koʻpaytirish “ 
∙ 
” amallari 
quyidagicha kiritiladi. 
1. Qoʻshish amali: 
𝑞
1
+ 𝑞
2
= 𝑎
1
+ 𝑎
2
+ (𝑏
1
+ 𝑏
2
)𝑖 + (𝑐
1
+
𝑐
2
)𝑗 + (𝑑
1
+ 𝑑
2
)𝑘
;
2. Bazis elementlar o’rtasida koʻpaytirish amali:
𝑖
2
= 𝑗
2
= 𝑘
2
= −1
, 
𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑖𝑘 =
−𝑗, 𝑗𝑘 = 𝑖 
; 
3. Koʻpaytirish amali:
 
𝑞
1
⋅ 𝑞
2
= (𝑎
1
𝑎
2
+ 𝑎
1
𝑏
2
𝑖 + 𝑎
1
𝑐
2
𝑗 + 𝑎
1
𝑑
2
𝑘) + (𝑏
1
𝑎
2
𝑖 +
𝑏
1
𝑏
2
𝑖
2
+ 𝑏
1
𝑐
2
𝑖𝑗 + 𝑏
1
𝑑
2
𝑖𝑘) + (𝑐
1
𝑎
2
𝑗 + 𝑐
1
𝑏
2
𝑗𝑖 + 𝑐
1
𝑐
2
𝑗
2
+ 𝑐
1
𝑑
2
𝑗𝑘) + (𝑑
1
𝑎
2
𝑘 +
𝑑
1
𝑏
2
𝑘𝑖 + 𝑑
1
𝑐
2
𝑘𝑗 + 𝑑
1
𝑑
2
𝑘
2
) = (𝑎
1
𝑎
2
− 𝑏
1
𝑏
2
− 𝑑
1
𝑑
2
) + (𝑎
1
𝑎
2
+ 𝑏
1
𝑎
2
+ 𝑐
1
𝑑
2
−
𝑑
1
𝑑
2
)𝑖 + (𝑎
1
𝑐
2
− 𝑑
2
𝑎
2
+ 𝑐
1
𝑎
2
− 𝑑
1
𝑏
2
)𝑗 + 𝑑
2
) + (𝑎
1
𝑑
2
+ 𝑏
1
𝑐
2
− 𝑐
1
𝑏
2
+ 𝑑
1
𝑐
2
)𝑘
.

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
304 
Yuqorida aniqlangan amallarga nisbatan kvaternion sonlar toʻplami 
ℋ
kommutativ 
bo’lmagan halqa hosil qiladi. Bu halqada quyidagi tenglamani qaraylik.
𝑥
2
+ 1 = 0
tenglamani yeching.
Bu tenglamani yechish uchun noma’lumni 
𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘
koʻrinishida 
izlaymiz. Tenglamadagi 
𝑥
ning joyiga 
𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘
ifodani qoʻyib, zarur 
soddalashtirishlarni bajarsak, berilgan tenglama 
2𝑎(𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘) + 1 − 𝑎
2
−
𝑏
2
− 𝑐
2
− 𝑑
2
= 0
tenglamaga teng kuchli bo’ladi. Bundan
{
2𝑎(𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘) = 0
1 − 𝑎
2
− 𝑏
2
− 𝑐
2
− 𝑑
2
= 0
sistemaga ega boʻlamiz. Bu sistemani yechishda 
quydagi hollar yuzaga keladi: 
1)
{
𝑎 = 0 
1 − 𝑎
2
− 𝑏
2
− 𝑐
2
− 𝑑
2
= 0
2)
{
𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘 = 0
1 − 𝑎
2
− 𝑏
2
− 𝑐
2
− 𝑑
2
= 0
.
1-holni qarasak, 
{
𝑎 = 0 
𝑏
2
+ 𝑐
2
+ 𝑑
2
= 1
tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz. Koʻrinib 
turibdiki, bu sistema cheksiz koʻp yechimga ega va bu yechimlar toʻplami birinchi 
koordinatasi nol, qolgan uchta koordinatasi markazi nol nuqtada bo’lgan va radiusi 
birga teng sfera sirtida yotuvchi nuqtalarning geometrik oʻrnini tasvirlaydi. Endi 2-
holni qaraydigan boʻlsak, 
{
𝑏, 𝑐, 𝑑 = 0
1 − 𝑎
2
− 𝑏
2
− 𝑐
2
− 𝑑
2
= 0
sistemaga ega boʻlamiz. 
Bundan R
4
ning (1, 0,0,0) va (-1, 0,0,0) nuqtalari 2-sistemaning yechimi bo’ladi. 
Ammo, bu nuqtalar 
𝑥
2
+ 1 = 0
tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak, 1-holda 
olingan barcha yechim berilgan tenglamaning yechimi sifatida qoladi.
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, algebraning asosiy teoremasidan kelib 
chiqadigan n-darajali (
𝑛 ≥ 1
) ixtiyoriy koʻphad barcha karrali ildizlarini qoʻshib 
hisoblaganda aynan n ta ildizga ega degan natija kvaternion sonlar halqasida o’rinli 
emas.