Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

 
 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
312 
AYQASH TO’G’RI CHIZIQLAR ORASIDAGI MASOFANI 
TOPISHNING BIR NECHTA USULLARI 
 
Turdiyev I.M., Jumayev S.S. 
Navoiy davlat pedagogika instituti 
Bu maqolada ayqash to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topishning bir nechta 
usullarini ko’rib chiqamiz. 
Bizga bu to’g’ri chiziqlarning parametrik ko’rinishdagi tenglamalari berilgan 
bo’lsin. 
𝑒
1 
:
𝑥 = 𝑚
1
𝑡
1
+ 𝑥
1
𝑦 = 𝑛
1
𝑡
1
+ 𝑦
1
𝑧 = 𝑙
1
𝑡
1
+ 𝑧
1
𝑒
2 
:
𝑥 = 𝑚
2
𝑡
2
+ 𝑥
2
𝑦 = 𝑛
2
𝑡
2
+ 𝑦
2
𝑧 = 𝑙
2
𝑡
2
+ 𝑧
2
(1) 
Yo’naltiruvchi vektotlari 
𝑢
⃗ 
1
(𝑚
1
, 𝑛
1
, 𝑙
1
)
va 
𝑢
⃗ 
2
(𝑚
2
, 𝑛
2
, 𝑙
2
)
orqali umumiy 
perpendikulyar vektoni 
[𝑢⃗ 
1
× 𝑢
⃗ 
2
] = 𝑝 
vektor kopaytma orqali topsak 
𝑝 = (|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| ; |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| ; |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| )
ga teng bo’ladi (1-rasm) 
. 
1-rasm 
Endi umumiy perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz. Buning 
uchun uch vektorni bir tekislikda yotish shartidan foydalanamiz. 
Tekislikka tegishli ixtiyoriy 
𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧)
nuqta yordamida
𝑀
1
𝑀
(
𝑥 − 𝑥
1
; 𝑦 −
𝑦
1
; 𝑧 − 𝑧
1
),
𝑢
⃗ 
1
(𝑚
1
, 𝑛
1
, 𝑙
1
), 𝑝 = (|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| ; |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| ; |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| ) v
ektorlardan
|
𝑥 − 𝑥
1
𝑦 − 𝑦
1
𝑧 − 𝑧
1
𝑚
1
𝑛
1
𝑙
1
|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
|
|
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
|
| = 0
Determinantli tenglamani tuzib olamiz. Bu tenglamani ishlaganimizda 
tekislik tenglamasi hosil bo’ladi. Ya’ni
|
𝑥 − 𝑥
1
𝑦 − 𝑦
1
𝑧 − 𝑧
1
𝑚
1
𝑛
1
𝑙
1
|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
|
|
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
|
| = 𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷 = 0

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
313 
Endi 
𝑒
2 
to’g’ri chiziqni o’z ichiga oluvchi ikkinchi tekislikni tuzamiz. 
|
𝑥 − 𝑥
2
𝑦 − 𝑦
2
𝑧 − 𝑧
2
𝑚
2
𝑛
2
𝑙
2
|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
|
|
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
|
| = 𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷 = 0
bundan esa
𝑒
3 
: {
𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷 = 0
Bu ikki tekisliklarni kesishmasi umumiy perpindikulyar to’g’ri chiziq 
tenglamasini ifodalaydi (2-rasm).
2-rasm 
Endi bu 
𝑒
1 
, 𝑒
3 
hamda to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqta koordinatalar 
topilib, 
{
𝑥 = 𝑚
1
𝑡
1
+ 𝑥
1
𝑦 = 𝑛
1
𝑡
1
+ 𝑦
1
𝑧 = 𝑙
1
𝑡
1
+ 𝑧
1
𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷 = 0
Bu tenglamalar sistemasining yechimi 
𝐾
1
(𝑥
1
′
; 𝑦
1
′
; 𝑧
1
′
)
nuqtani topiladi (3-
rasm). 
Endi yana xuddi shunday qilib,
𝑒
2 
, 𝑒
3 
to’g’ri chiziqlarni kesishtirib nuqta 
koordinatalarini topamiz. 
{
𝑥 = 𝑚
2
𝑡
2
+ 𝑥
2
𝑦 = 𝑛
2
𝑡
2
+ 𝑦
2
𝑧 = 𝑙
2
𝑡
2
+ 𝑧
2
𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷 = 0
Bu sistemani qanoatlantiruvchi 
𝐾
2
(𝑥
2
′
; 𝑦
2
′
; 𝑧
2
′
)
nuqtani topib(3-rasm), 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
314 
3-rasm 
to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topish uchun bu
𝐾
1
, 𝐾
2
nuqtalar orasidagi 
masofani topish zarur va yetarlidir. 
Ya’ni
𝑑 = √(𝑥′
2
− 𝑥′
1
)
2
+ (𝑦′
2
− 𝑦′
1
)
2
+ (𝑧′
2
− 𝑧′
1
)
2
ga tengdir. 
2-usul
: Bu ayqash to’g’ri chiziqlarning yana parametric tenglamasidan 
foydalangan holda dastlab umumiy perpendikulyar vektorini topib olamiz bizga 
yuqoridagi 1-holdan ma’lumki 
[𝑢
⃗ 
1
× 𝑢
⃗ 
2
] = 𝑝 
ga teng edi. 
Bu ayqash to’g’ri chiziqlarning har birida shunday bir yagona nuqta borki bu 
nuqtalardan o’tuvchi vektor P vektorga kollinear bo’ladi (4-rasm). 
𝑃
‖
𝑃′
4-rasm 
Demak biz ayqash to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topish uchun P’ 
vektorni topib uzunligini hisoblab qo’yish kifoya ekan. 
Yuqoridagi kollinearlikdan quyidagi tenglik (5-rasm)
𝑎𝑃⃗ = 𝐾
2
𝐾
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
315 
5-rasm 
Kelib chiqadi. Endi koordinatalari bilan yozsak
𝑎 (|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| ; |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| ; |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| ) = (𝑥′
2
− 𝑥′
1
; 𝑦′
2
− 𝑦′
1
; 𝑧′
2
−
𝑧′
1
) (
1) 
tenglik ham o’rinli bo’ladi.
Bu yerdagi 
𝐾
2
, 𝐾
1
nuqta koordinatalari to’g’ri chiziqlarga ham tegishli 
ekanligidan
𝐾
1 
: {
𝑥′
1
= 𝑚
1
𝑡
1
+ 𝑥
1
𝑦′
1
= 𝑛
1
𝑡
1
+ 𝑦
1
𝑧′
1
= 𝑙
1
𝑡
1
+ 𝑧
1
𝐾
2 
: { 
𝑥′
2
= 𝑚
2
𝑡
2
+ 𝑥
2
𝑦′
2
= 𝑛
2
𝑡
2
+ 𝑦
2
𝑧′
2
= 𝑙
2
𝑡
2
+ 𝑧
2
ham o’rinli bo’ladi. 
(1) formulani endi quyidagi ko’rinishga keltirib yozamiz. 
{
𝑎 |
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| = (𝑚
2
𝑡
2
+ 𝑥
2
) − (𝑚
1
𝑡
1
+ 𝑥
1
)
𝑎 |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| = (𝑛
2
𝑡
2
+ 𝑦
2
) − (𝑛
1
𝑡
1
+ 𝑦
1
)
𝑎 |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| = (𝑙
2
𝑡
2
+ 𝑧
2
) − (𝑙
1
𝑡
1
+ 𝑧
1
)
Bu sistema uchta no’malum 
𝑎, 𝑡
1
, 𝑡
2
larga nisbatan uchta tenglamadan iborat 
demak bu tenglamalar sistemasi orqali 
𝑎, 𝑡
1
, 𝑡
2
qiymatni topish mumkin. 
Topilgan 
, 𝑡
1
va 
𝑡
2
larni qiymatini mos ravishda to’g’ri chiziqning parametrik 
tenglamalariga qo’yish orqali 
𝐾
1 
va
𝐾
2 
nuqtalarni topib 
𝐾
2
𝐾
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
vektor uzunligini 
topish orqali bu ayqash to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topiladi. Ya’ni 
|𝐾
2
𝐾
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑥′
2
− 𝑥′
1
)
2
+ (𝑦′
2
− 𝑦′
1
)
2
+ (𝑧′
2
− 𝑧′
1
)
2
Formuladan foydalangan holdadir. 
3-usul
: Bu usul ayqash to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani tekisliklar orqali 
topish usulidir. Bu usulni tadbiq qilishimiz uchun biz yana to’g’ri chiziqlarning 
parametrik tenglamalaridan va 1-usulda topgan ayqash to’g’ri chiziqlarning umumiy 
perpendikulyar vektoridan foydalanamiz. 
Biz bu ayqash to’g’ri chiziqlardan bir birga parallel ikki tekislik o’tkazib, bu 
tekislik tenglamalarini topamiz. Yuqoridagi chizmadan ko’rinib turibdiki Ayqash 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
316 
to’g’ri chiziqlarning umumiy perpendikulyar 
𝑃⃗ 
vektor berilgan tekisliklarning 
normal vektori bo’ladi (6-rasm). 
(6-rasm) 
Yuqoridagi chizmadan ko’rinib turibdiki ayqash to’g’ri chiziqlarning umumiy 
perpendikulyar 
𝑃⃗ 
vektori berilgan tekisliklarning normal vektori ham bo’ladi. 
Tekislik to’g’ri chiziqni o’z ichiga olgani uchun to’g’ri chiziqning har bir nuqtasi 
tekislik tenglamasini ham qanoatlantiradi.
To’g’ri chiziqlarning parametric tenglamalari (1) dan ma’lumki
(𝑥
1 
; 𝑦
1 
; 𝑧
1 
)
nuqta 
𝑒
1 
to’g’ri chiziqqa 
(𝑥
2 
; 𝑦
2 
; 𝑧
2 
)
nuqta esa 
𝑒
1 
to’g’ri chiziqqa tegishlidir. 
Normal vektor va tekislikka tegishli bitta nuqtadan tekislik o’tkazish mumkin 
va u yagonadir.
Endi bu tekisliklar tenglamasini 
𝑝 (|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| ; |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| ; |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| )
va 
𝑀
1 
(𝑥
1 
; 𝑦
1 
; 𝑧
1 
)
orqali
|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| (𝑥 − 𝑥
1
) + |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| (𝑦 − 𝑦
1
) + |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| (𝑧 − 𝑧
1
) = 0
1-tekislik tenglamasini topildi.
Endi 
𝑝 
vektor va 
𝑀
2 
nuqta orqali
|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| (𝑥 − 𝑥
2
) + |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| (𝑦 − 𝑦
2
) + |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| (𝑧 − 𝑧
2
) = 0
2-tekislik tenglamalarini topdik. 
Agar yuqoridagi tenglamalarni soddaroq ko’rinishi uchun belgilash kiritib 
olamiz. 
𝑝 (|
𝑛
1
𝑙
1
𝑛
1
𝑙
2
| ; |
𝑙
1
𝑚
1
𝑙
2
𝑚
2
| ; |
𝑚
1
𝑛
1
𝑚
2
𝑛
2
| ) = 𝑛⃗ (𝐴; 𝐵; 𝐶)
1-tekislik
𝐴(𝑥 − 𝑥
1
) + 𝐵(𝑦 − 𝑦
1
) + 𝐶(𝑧 − 𝑧
1
) = 0
va 2-tekislik
𝐴(𝑥 − 𝑥
2
) +
𝐵(𝑦 − 𝑦
2
) + 𝐶(𝑧 − 𝑧
2
) = 0
orqali tekislik tenglamalarini sodda ko’rinishga keltirib 
oldik. Agar qavslarni ochib chiqsak 

---

Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель 
317 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − (𝐴𝑥
1
+ 𝐵𝑦
1
+ 𝐶𝑧
1
) = 0
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − (𝐴𝑥
2
+ 𝐵𝑦
2
+ 𝐶𝑧
2
) = 0
ko’rinishga keladi. Demak biz tekislik tenglamalarini topdik
Ayqash to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topish uchun to’g’ri chiziqlardan 
parallel qilib o’tkazilgan ikki tekislik orasidagi masofani topish zarur va yetarlidir. 
Parallel tekisliklar orasidagi masofani toppish formulasi: 
𝑑 =
|𝐷
1
− 𝐷
2
|
√𝐴
2
+ 𝐵
2
+ 𝐶
2
( bu yerda 
𝐷
1
= −(𝐴𝑥
1
+ 𝐵𝑦
1
+ 𝐶𝑧
1
)
,
𝐷
2=
− (𝐴𝑥
2
+ 𝐵𝑦
2
+ 𝐶𝑧
2
)
) 
Biz yuqorida ayqash to’g’ri chiziqlarning orasidagi masofani topishning bir 
nechta usullarini tushintirib o’tdik.