Заряднинг магнит майдонидаги ҳаракати

Расм 10. ишора олиш керак, чунки сиртнинг барча қисмларида ташқи нормаль заряд q дан йўналган. Сиртнинг барча қисмларидан ўтган оқимларнинг йиғиндисини олсак ва ёйилган жисмоний бурчак 4 стерадианга тенг бўлишини ҳисобга олсак, тўла оқим учун қуйидаги ифодани ёзамиз:

Агар заряд ёпиқ сиртдан ташқарида жойлашса, у вақтда сирт битта жисмоний бурчак доирасида жуфт участкаларга бўлинади (расм 10 б ) Ҳар иккита шундай участкадан ўтувчи оқимлар Ф (2.27) га кўра, лекин ишораси қарама-қарши бўлади, чунки участкалардан бирида нормаль заряд q га йўналган,
Шунинг учун йиғинди олганда кичик оқимлар бир-бирини йўқотади ва тўла оқим бутун сирт орқали ўтувчи нолга тенг бўлади.
Шундай қилиб,

ва шуни исбот қилиш керак эди, исбот қилинди.
Биз қараган ҳолда сирт қавариқ эди, лекин теорема ҳар қандай формадаги ёпиқ сирт учун ўринлидир. (расм 11)

Бу ерда заряддан ўтувчи нур ёпиқ сиртни жуда кўп кесиб ўтади. Оқим-нинг бу участкалар-дан кесиб ўтган абсолют миқдорла-ри худди қавариқ сиртдаги сингари бўлади, ишоралар навбатлашади, чун-ки нормал йўналиш ҳам алмашади. Зар-ядни ўраб турган сирт учун (расм 11а),
Расм 11. жисмоний бурчак  чега-расидаги участкалар сони ҳамма вақт тоқ бўлади, йиғиндиси олинганда фақат четки участкалардан компенсирланмаган оқим Ф қолади. Заряд ўраб олмаган сирт учун (расм 11 б) жисмоний бурчак доирасида участкалар сони жуфт бўлади, йиғиндиси олинганда оқимлар жуфт-жуфт бўлиб бир-бирини йўқотади.
3. Ниҳоят, Гаусс теоремасини умумий ҳол учун ихтиёрий системадаги нуқтавий зарядлар майдони учун исбот қиламиз.
Кучланганлик учун суперпозиция принципидан маълумки, ихтиёрий ёпиқ сирт орқали ўтган кучланганлик оқим векторини системанинг ҳар бир нуқтавий заряди ҳосил қилган оқимлар Фi- йиғиндисидан иборат деб қараш мумкин.

(2.31)
Юқорида қилган исботимизга кўра, заряднинг сиртдан ташқарида ҳосил қилган оқимлари О га тенг, сирт ичида жойлашганлари q/0 га тенг бўлади.
Шундай қилиб,
бу ерда ўнгда S сирт ичида жойлашган зарядлар киради.
Гаусс теоремаси зарядлар ва уларнинг ҳосил қилган майдонини боғласада, умуман олганда заряднинг берилган тақсимланиши бўйича майдон кучланганлигини ҳисоблаш имкониятини бермайди, чунки Е кейинги интеграл тагидадир. Лекин заряднинг тақсимланиши симметрик бўлган ҳолда, у ёки бу формада ёпиқ сирт танлаб олиш имконияти бўлган ҳоллларда кучланганлик вектори ҳамма ерда сиртга перпендикуляр бўлади ва унинг барча қисмларида абсолют қиймати бир хил бўлади. Бундай ҳолда кучланганлик катталиги E =  En =const бўлади ва уни интегралдан чиқариш мумкин ва аниқлаш мумкин.