Zahiriddin muhammad bobur nomli

R ning ishorasi bilan bir xil va 1) holga ko‘ra

bundan

tenglikni yoza olamiz, u ning ikkala tomonini 1 ga, ko‘paytirsak, (6) munosabatga ega bulamiz.
3°. Har qandai vektorlar va ixtiyoriy uchun
, (7)
munosabat o‘rinlidir.
Isbot. Bu erda ikki hol bo‘lishi mumkin:
1) Bu holda yuqoridagi teoremaga asosan shunday
son mavjudki,
2°-xossaga ko‘ra (7) tengl'ikning chap tomoni
(8)
ko‘rinishga, uning o‘ng tomoni esa
(9)
ko‘rinishga keladi. (8) va (9) ni taqqoslab, (7) ning o‘rinli ekaniga ishonch hosil qilamiz.
2) va vektorlar kollinear emas) va bo‘lsin. Biror O nuqtaga vektorni, uning oxiri A ga T= vektorni qo‘yib,

9-chizma


vektorni hosil qilamiz (9-chizma).
(10)
bo‘lsin. Vektorlarni qo‘shishning uchburchak qoidasiga ko‘ra
(11)
OAV va OQP uchburchaklarda O uchdagi burchak umumiy va bo‘lgani uchun bundan

U holda
(12)

(10), (11), (12) bo‘lgan hol ham shu kabi isbot qilinadi. A SHunday qilib, barcha ozod vektbrlar to‘plami V da aniqlangan vektorlarni qo‘shish va vektorni songa ko‘paytirish amallari quyi-dagi xossalarni qanoatlantirar ekan:

1. (qo‘shishning assotsiativligi).
2. (ko‘shishning kommutativligi).
3. uchun (nol vektor­ning mavjudligi).
4. uchun (qarama-qarshi vektorning mavjudligi).
5. (vektorni songa ko‘paytirishning sonlarga nisbatan assotsiativligi).
6. (vektorni songa ko‘paytirishning sonlarni qo‘shishga nisbatan distributivligi).
7. (vektorlarni qo‘shishga nisbatan son­ga ko‘paytirishning distributivligi).
8. 1 •
Bu sakkiz xossani qanoatlantiruvchi vektorlar to‘plami V vek­tor faza deb ataladi.
V vektor fazoning biror a to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan barcha vektorlari to‘pla-mini V bilan belgilaylik. Ravshanki, V_x ning ixtiyoriy ikki vektori o‘zaro kollineardir (9-chizma).
V vektor fazoning biror P tekislikka parallel bo‘lgan barcha vektorlari to‘pla mini V₂ bilan belgilaymiz 10-chizma

10-chizma

va ularni komplanar vektorlar deb ataymiz, (9-chizma, 10-chizmadagi vektorlar komplanar emas.

bo‘lsin, u holda bo‘ladi. SHu bilan birga bajariladi (chunki bu xossalar V ning har qanday vektori uchun bajariladi). Demak, Vi vek­tor fazodir. Xuddi shu kabi V_a ham vektor fazodir.