Задача. Даны законы поступательного движения тела по осям и :. Найти уравнение траектории

Задача 24. Пуля, масса которой 10 г и скорость 500 м/с, попадает в дверь ширины l = 120 см и застревает в ней на расстоянии a = 80 см от оси. Масса двери равна 60 кг. Найдите угловую скорость двери после попадания в нее пули (скорость пули перпендикулярна плоскости двери). Ответ: 0,14 1/с.
Решение.
Сделаем рисунок.
Летящая пуля обладает импульсом и моментом импульса относительно оси, на которой закреплена дверь. Плечо импульса пули равно .
Пуля, попав в дверь и застряв в ней, толкнет дверь. Но дверь закреплена на своей оси, и сила реакции, возникшая со стороны этой оси, подействует на дверь и поменяет суммарный импульс пули и двери. Однако у этой силы реакции нет плеча, поскольку она проходит через ось. Следовательно, эта сила не сможет создать вращающий момент.
Только момент внешних сил может изменить суммарный момент импульса пули и двери. И поскольку момент внешних сил равен нулю сохраняется суммарный момент импульса пули и двери. До удара момент импульса был только у пули, а после удара и у пули, и у двери. Причем, поскольку пуля застряла в двери, вращаться они будут с одной и той же угловой скоростью .











Запишем уравнение сохранения момента импульса:



где – момент инерции пули (как материальной точки на расстоянии от оси), – момент инерции двери.
Из этой формулы выразим угловую скорость:





Задача. Найти энергию, перешедшую в тепло при абсолютно неупругом соударении шаров, в двух случаях: шары движутся в одну сторону или навстречу друг другу.
Решение.
Предполагается, что при ударе шары слипнутся, образовав одно тело с массой . При этом часть кинетической энергии шаров перейдет в тепло и превратится во внутреннюю энергию образовавшегося тела. Разность между суммой кинетических энергий двух шаров до удара и кинетической энергией образовавшегося тела будет равна количеству теплоты:

Чтобы посчитать это количество теплоты, нужно сначала вычислить скорость образовавшегося при ударе тела.
При ударе суммарный импульс тел сохранится в соответствии с уравнением



Если шары до удара двигались в одном направлении, то проекция этого векторного уравнения на направление движения будет выглядеть так:

откуда

Если шары до удара двигались навстречу друг другу, то проекция этого векторного уравнения на направление движения первого шара будет выглядеть так:

откуда

Теперь можно будет посчитать и количество теплоты.


Задача. Найти новую угловую скорость вращения легкого жесткого стержня при изменении положения грузиков с массами и , если задана первоначальная скорость вращения. Или найти, во сколько раз изменится угловая скорость вращения.


Решение.

Предполагается, что изменение положения грузов произошло без воздействия внешней силы, грузы взаимодействуют только со стержнем. В этом случае сохраняется момент импульса двух грузов (момент инерции и момент импульса стержня равны нулю, так как по условию он не имеет массы):

Моменты инерции грузов считаем по формуле для материальных точек на расстоянии от оси:



Задача. Найти максимальную или минимальную скорость движения планеты или их отношение, если даны максимальное или минимальное расстояние до звезды или их отношение, и наоборот.
Решение.

1 2

При движении спутника вокруг притягивающего массивного тела сохраняется момент импульса спутника. Модуль момента импульса равен , где – плечо импульса. Скорость спутника всегда направлена по касательной к орбите. Только в двух точках орбиты: на минимальном (1) и максимальном (2) расстояниях от притягивающего тела плечо импульса равно соответствующим расстояниям . Для этих двух точек 1 и 2 запишем равенство моментов импульса:

На минимальном расстоянии спутника от притягивающего тела его скорость максимальна, а на максимальном расстоянии – минимальна. Максимальная скорость спутника во столько же раз больше минимальной, во сколько максимальное расстояние больше минимального.