Задача. Даны законы поступательного движения тела по осям и :. Найти уравнение траектории

Решение.
Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндра будет направлено вниз вдоль наклонной плоскости, и что при этом он будет вращаться по часовой стрелке, и при этом его угловое ускорение также будет направлено по часовой стрелке. Сделаем рисунок.

На цилиндр действуют два тела: Земля и наклонная плоскость. Активной силой является сила, с которой Земля действует на цилиндр. Эта сила есть сила тяжести . Она направлена вертикально вниз. Эта сила тяжести имеет две проекции (две составляющие): , перпендикулярную наклонной плоскости, и , направленную вниз вдоль наклонной плоскости. Сила тяжести оказывает двойное действие на цилиндр: прижимает его к наклонной плоскости перпендикулярно ей с силой и стаскивает его вдоль наклонной плоскости с силой .

Ответ – реакцию на эти две составляющие дает наклонная плоскость. В ответ на прижимающую силу наклонная плоскость действует с силой нормальной реакции , направленной противоположно прижимающей силе. Прижатый к наклонной плоскости цилиндр по условию не скользит вдоль наклонной плоскости. Это потому, что в ответ на стаскивающую силу наклонная плоскость действует на цилиндр с силой трения. , направленной вдоль наклонной в противоположном направлении.
Применим уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндра будет направлено вдоль наклонной плоскости, перпендикулярно наклонной плоскости ускорения нет. Поэтом запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось, совпадающую с направлением ускорения, то есть вдоль наклонной плоскости вниз. Это первое уравнение справа от рисунка.
Этого уравнения недостаточно для решения задачи, поскольку в нем две неизвестных величины: и . Это естественно, потому что цилиндр еще и вращается. Поэтому запишем уравнение второго закона Ньютона для вращательного движения в проекции на направление вращения. Это второе уравнение справа от рисунка.
Появилось новая неизвестная величина – угловое ускорение . Формула связи между угловым и линейным ускорением (третье уравнение справа от рисунка) замкнет систему уравнений.

После преобразований, сделанных справа от рисунка, мы получили решение задачи, то есть нашли формулы для расчета линейного ускорения и скорости цилиндра.

Найдем зависимость скорости цилиндра от времени:

Если цилиндр полый, как в условии задачи 18, применим формулу для расчета момента инерции полого цилиндра: Получим для расчета ускорения