Yuqori tartibli hosila va differensiallar

	19
	B	R O’ZGARUVCHILI FUNKSIYA HOSILASI VA DIFFERENSIALI YUQORI TARTIBLI HOSILA VA DIFFERENSIALLAR

Reja

1. 
   Hosila haqida tushuncha.
   
2. 
   Hosilaning iqtisodiy ma`nosi.
   
3. 
   Funksiya differensialli.
   
4. 
   Hosilalning geometrik ma‘nosi.
   
5. 
   Hosila olish va differensiallash qoidalari.
   
6. 
   Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar.
   
7. 
   Differensiallanuvchi funksiyalarning xossalari.
   

1. Hosila haqida tushuncha.

	1-TA’RIF
^(^)^y^fun^f^ks^x^iy^^a^x^x^0 ^nuqtaning^biror^bir^atrofida^aniqlangan^va lim f (x  x)  f (x) x0 x mavjud bo`lsin. U holda bu limit ^f^^x^funksiyaning ^xnuqtadagi hosilasi deb 0 ataladi va quyidagicha belgilanadi: ^f^^(^x0 ^), ^fx^^(^x0 ^), ^y^^(^x0 ^), ^f^^(^x^)^^li^m^f^(^x^0^^^x^)^^f^(^x^0^)^.(1) ^0x0 x

1. 
   misol. ^{fx x}2 funksiya barcha ^{x R1}nuqtalarda hosilaga ega. Haqiqattan ^{ham ixtiyoriy} x R^{1 nuqtalarda}
   

^{x  x}2 ^{ x2 2x } ^x ^ ^x2
^{f }_^x_ ^{ lim  lim  lim}_^{2x  x}_ ^{ 2x.} ►

x0 _x
x0 _x
x0

2. misol.

Haqiqattan ham
f _ x_ xⁿ, n 1 funksiya barcha ^{x R1}nuqtalarda hosilaga ega.

_{f  x  lim} (x  x)ⁿ  xⁿ
_{ lim} C⁰ xⁿ  C¹x^n1x  C² x^n2 (x)²  ...  xⁿ
 nx

►
n n n ^n1
x0 _x x0 _x

3. 
   ^misol.   ^{sinf xfunksiyxa}
   

Haqiqattan ham
barcha ^{x R1} nuqtalarda hosilaga ega.

^{f } ^x ^{ lim}

sin(x  x)  sin x

_2sin x _cos 2x  x

2 2 _►
 lim  cos x ^.

x0 _x x0 _x
Mashqlarni bajaring. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini hosila ta`rifga
asosan toping: a) ( ) cos ,f x ¹; b)x ^{(x ) Rln , 0f; cx)} ( )^{x x4} ,f x ¹x^. x R
Quyidagi ifodalar

f_^(x<sub>0


) </sub> lim
x 0
f (x₀  x) 
x
^{f (x0 ) ,} f ^(x


_{) } lim
x 0
f (x₀  x) 
x
f (x₀ )



0
^{mos ravishda f x} funksiyaning ^x₀ nuqtadagi chap va o`ng hosilalari deb ataladi.

	1-TEOREMA
^(^)^y^fun^f^ks^x^iy^^a^uchun^x^x0^^nuqtada ^^(^0^)^^^^(^0^)^^^(^0^)^f^x^f^x^f^xmunosabat o`rinli bo`lsagina bu funksiyaning x x0 nuqtada hosilasi mavjud bo`ladi.

4. 
   misol. ^(f)x
   

^x finksiyaning ₀ ^x0 nuqtada bir tomonlama chekli

hosilalari mavjud bo`lsa ham uning hosilasi mavjud emas (1-rasm). Chunki uning
chap va o`ng hosilalari teng emas. Haqiqattan ham
f ^(0)  lim ^y  lim ^{ x}  1, f ^(0)  lim ^y  lim ^x  1. ►
^ x0 _x x0 _x ^ x0 _x x0 _x


1-rasm
 ¹


^{Mashqni bajaring. a) f (x)  x sin} x ^{, x  0, funksiyaning} 0 ^0x
_^ 0, x  0,
nuqtadagi bir tomonlama hosilalari mavjud emasligini isbotlang.

2. ^{( )}

isbotlang.

2. ^{( )}

isbotlang.
^3f f^xunksi^xy^anin^g₀ ^3xnu^qtadagi hosilasi mavjud emasligini


^{2 5f fuxnksiyxaning }0 ^{2,5xnuqtadagi hosilasi mavjud emasligini}

	2-TEOREMA
^y^^f^(^x^)funksiya ^xnuqtada hosilga ega bo`lsa, u holda funksiya ^x 0 0 nuqtada uzluksizdir.

Shuni alohida ta`kidlashimiz kerakki, yuqoridagi teoremani teskarisi har doim ham o`rinli bo`lmaydi. Demak, uzluksiz funksiyaning hosilasi har doim ham mavjud emas. Bunga misol sifatida 4-misolni ko`rish mumkin. Chunki, ^{y x} funksiya barcha ^{( , )x}nu^q^tal^arda uzluksiz bo`lsa ham 0xnuqtada uning hosilasi mavjud emas.

2. Hosilaning iqtisodiy ma`nosi.

Hosilaning iqtisodiy ma`nosini misollarda ko`rib chiqamiz.

Mеhnаt unumdorligi. Q^t ^ funksiya t vаqt ichidа ishlаb chiqаrilgаn mаhsulot ^{miqdorini ifodаlаsin. t}0 ^{momеntdа mеhnаt unumdorligi topilsin.}
t₀ dаn t₀ t vаqt orаlig’idа ishlаb chiqаrilgаn mаhsulot miqdori Qt₀ 
^{qiymаtdаn Qt}0 ^{t qiymаtgаchа o’zgаrаdi,ya’ni Q Qt}0 ^{t Qt}0 ^{gа. U holdа}
Q
^{mеhnаtning o’rtаchа unumdorligi shu vаqt orаlig’idа u}_{o 'rt} ^ _t ^{bo’lаdi. t}0 ^{momеntdа
mеhnаt unumdorligi dеgаndа, t0dа t}0 ^dаnt0 ^{t vаqt orаlig’idа o’rtаchа mеhnаt} unumdorligining chеkli qiymаti tushunilаdi, ya’ni
ut  lim Q ^{ lim Q
o t00 o'rt} t _t
Shundаy qilib mеhnаt unumdorligi – bu mаhsulot hаjmining o’sish tеzligidir.
Xuddi shunga o`xshash ^x birlikdagi mahsulotni sotishdan tushgan foydani
^{( )Ubilxan belgilasak, u holda U (x)  lim U} ifodani sotuvdan tushgan limit foyda
t0 _x

deb atash mumkin.

5. 
   misol. t vaqtdagi ishlab chiqarish hajmi Q 100t ^{1 t3}
   

30
formula

yordamida bog`langan bo`lsin. Mehnat unumdotligini: a) 5 vaqt birligiga mos; b) 10 vaqt birligiga mos aniqlang.
Yechish. Bu masalaning yechimini topish uchun quyidagi ishlarni amalga

oshiramiz: u^  100  ^{1 t2 , u(5) 100 }
10
¹ 5²  97,5 ; u^(10)  100 
10
¹ 10²  90 .►
10

5. 
   misol. Mahsulotga bo`lgan tal^ab^10p2 holda mahsulotni sotishdan tushgan foyda:
   

^x formula bilan aniqlansa, u

   ^{u x x x (1x0 2 ) 10 2 2} .
^{U holda limit}^foyu^d^a 10x 4 ^{2 . ►}