Funksiyaning hosilasi va differensiali

FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI

Funksiyaning hosilasi va differensiali tushunchalari matematik analiz-ning fundamental tushunchalaridandir.
Biz ushbu bobda funksiya hosilasi va differensiali tushunchalari bilan tanishamiz, funksiyalarning hosilasi va differensialini hisoblashni, shuningdek, differensial hisobning asosiy teoremalarini o’rganamiz.
1 – §. Funksiyaning hosilasi.
1⁰. Funksiya hosilasining ta’rifi. Faraz qilaylik, y  f (x)funksiya
(a,b) intervalda berilgan, x₀ (a,b) , (x₀  x)(a,b) bo’lsin.
Ma’lumki,
y  f (x₀)  f (x₀  x) f (x₀)
funksiya orttirmasi muayyan funksiya va x₀ nuqtalarda xga bog’liq bo’ladi.
1 – ta’rif. Agar
lim y lim f (x0 x) f (x0)
x0 _x x0 _x
mavjud va chekli bo’lsa, bu limit f (x) funksiyanig x₀ nuqtadagi hosilasi deb ataladi. Funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi odatada,
dy

f (x₀) yoki y_xx0 , yoki dx x  x₀
belgilar yordamida yoziladi.
Demak,
f (x0)  limx0 yx  limx0 f (x0  xx)  f (x0)
Bunda x₀ x  x deb olaylik, unda x  xx₀ va x 0 da x  x₀ bo’lib, natijada
lim y  lim f (x0  x) f (x0)  lim f (x) f (x0)
x0 _x x0 _x x0 x^x₀
bo’ladi. Demak, f (x) funksiyanig x₀ nuqtadagi hosilasi x  x₀ da
f (x) f (x₀)

xx₀
nisbatning limiti sifatida ham ta’riflanishi mumkin:
f (x₀)  limx0 f (x_x)_^ _x^f₀^(x0) . (6.1)
Ravshanki, f (x) funksiya (a,b)intervalning har bir x nuqtasida hosilaga ega bo’lsa, bu hosila x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Misollar qaraylik.

1. 
   f (x)  C  const funksiya uchun, y  0
   

lim y  0
x0 _x
bo’lib, y  0 bo’ladi.

2. 
   f (x)  x funksiya uchun y  x
   

lim y  lim x 1
x0 _x x0 _x
bo’lib, y 1 bo’ladi.

v) f (x)  x funksiya uchun x₀  0 nuqtada y  x bo’lib,

lim y  lim x
x0 _x x0 _x
limit mavjud bo’lmaydi. Demak, bu funksiya x₀  0 nuqtada hosilaga ega emas.
6.1−misol. f (x)  e^x funksiyaning x 1 nuqtadagi hosilasi topilsin.
◄ Funksiya hosilasining (6.1) ta’rifidan foydalanib, topamiz:
y  lim ex e  lim et1 e  elim et 1  elnee.
x 1 x1 x 1 t0 t t0 t
Demak, (e^x)^_x1  e.►
6.2–misol. f (x)  ln x ( x  0 ) funksiyaning ixtiyoriy x  0 nuqtadagi hosilasi hisoblansin.
◄ Berilgan funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi
y  ln(x  x) ln x  ln_^1 ^x _^, (x  0)
 x 
bo’lib,
x
y 1  x  1  x x
 ln1   ln1 
x x  x  x  x 
bo’ladi. Ma’lumki,
x
limln1 x x 1 x0  x 
(qaralsin 5−bob). Unda lim ^y _ ¹ limit o’rinli bo’ladi. Demak, (ln x)  ¹ x0 x x x
.►
6.3–misol. f (x)  cos x funksiyaning ixtiyoriy xR nuqtadagi hasilasi hisoblansin.
◄ Bu funksiya uchun
x x
y cos( xx )cosx2sin( x )sin
2 2
bo’lib,
sin x
lim ^y _  lim sin(x _ ^x) lim ² _ sin x
x0 x x0 2 x0 x
2
bo’ladi. Demak, (cosx)  sin x (xR).►

6.4–misol. f (x)  x (x  0) funksiyaning x(0,) nuqtadagi hosi-lasi topilsin.
◄ Bu funksiyaning hosilasi x o’zgaruvchining ushbu
y  lim x  x  x  lim 1  1
x0 x x0 x  x _ x 2 x
funksiya bo’ladi.►
2−ta’rif. Agar
lim y  lim f (x0  x)  f (x0)
x0 _x x0 _x
 lim y  lim f (x₀  x)  f (x₀) 

x0 _x x0 _x 
mavjud va chekli bo’lsa, bu limit f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi deb ataladi. Funksiyaning x₀ nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi f (x₀  0) ( f (x₀ 0) ) kabi belgilanadi.


Odatda funksiyaning o’ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ataladi. Masalan, f (x)  x funksiya uchun lim ^y 1 , lim ^y  1 bo’ladi.
x0 _x x0 _x

Demak, f (x)  x funksiyaning x  0 nuqtadagi o’ng hosilasi 1 ga, chap hosilasi 1 ga teng.
y
1−eslatma. Agar x 0 da nisbatning limiti aniq ishorali
x
cheksiz bo’lsa, uni ham f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi deb yuritiladi. Bunday holda f (x)funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi  (yoki -) ga teng deyiladi.
2⁰. Hosilaning geometrik va mexanik ma’nolari.
a). Hosilaning geometrik ma’nosi. f (x) funksiya (a, b) intervalda uzluksiz bo’lib, x₀ (a, b) nuqtada f (x₀) hosilaga ega bo’lsin:
f (x0)  limx0 f (x0  xx)  f (x0) .
f (x) funksiyaning garafigi biror Г chiziqni ifodalasin deylik. (30chizma).
Endi Г chiziqqa uning M₀(x₀, f (x₀)) nuqtasida urinma o’tkazish masalasini qaraymiz.

Г chiziqda M₀ nuqtadan farqli M(x₀ x, f (x₀ x)) nuqtani olib, bu nuqtalar orqali  kesuvchi o’tkazamiz.  kesuvchining OX o’qi bilan tashkil etgan burchagini  bilan belgilaylik. Ravshanki,  burchak x ga bog’liq bo’ladi:  (x).
Agar  kesuvchining M nuqta Г chiziq bo’ylab M₀ ga intilgandagi (ya’ni x 0 dagi) limit holati mavjud bo’lsa, kesuvchining bu limit holati Г chiziqqa M₀ nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi. Urinma – to’g’ri chiziqdan iborat.
Ma’lumki, M₀ nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq M₀ nuqtaning koor-dinatalari hamda bu chiziqning burchak koeffitsienti orqali to’liq aniqlanadi. f (x) funksiya grafigiga M₀ nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud bo’lishi uchun
lim (x) 
x0
limitning mavjudligini lo’rsatish yetarli, bunda  urinmaning OX o’q bilan tashkil etgan burchagi. MM₀P dan
MP y f (x⁰  x) f (x⁰)

tg (x)    , M₀P x x
bundan esa
f (x⁰ x) f (x⁰)
 (x)  arctg
x
bo’lishini topamiz. u  arctgt funksiyaning uzluksizligidan foydalansak,
f (x⁰  x)  f (x⁰)
lim  (x)  lim arctg 
x0 x0 x

 arctg_lim_x0 f (x0  _x_x)  f (x0)_  arctgf (x0) 
bo’lishi kelib chiqadi. Demak, lim (x) mavjud va
x0
 lim (x)  arctg f (x₀)
x0
bo’ladi. Keyingi tenglidan
f (x₀ )  tg
bo’lishini topamiz. Shunday qilib, f (x) funksiya x₀ (a,b) nuqtada f (x₀ ) hosilaga ega bo’lsa, bu funksiya grafigiga M ₀ (x₀ , f (x₀ )) nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud. Funksiyaning x₀ nuqtasidagi hosilasi f (x₀ ) esa bu urinmaning burchak koeffitsientini ifodalaydi. urinmaning tenglamasi esa ushbu y  f (x₀)  f (x₀)(x  x₀)
ko’rinishda bo’ladi.
b). Hosilaning mexanik ma’nosi. Moddiy nuqtaning harakati s  f (t) qoida bilan ifodalangan bo’lsin, bunda t vaqt, s shu vaqt
ichida o’tilgan yo’l (masofa). Bu qonun bo’yicha harakat qilayotgan nuqtaning t₀ momentdagi oniy tezligini topish masalasini qaraylik. t vaqtning t₀ qiymati bilan birga t₀ t (t 0) qiymatini ham olib, bu nuqtalarda s  f (t) ning qiymatlarini topamiz. Moddiy nuqta t vaqt ichida
s  f (t₀  t) f (t₀)
masofani o’tadi va uning [t_0, t₀ t] segmentdagi o’rtacha tezligi s f (t₀  t) f (t₀)

t t
bo’ladi. t 0 da ^s nisbatning limiti moddiy nuqtaning t₀
t
momentdagi oniy tezligi v ni ifodalaydi:
v  lim s  lim f (t0  t)  f (t0) .
t0 _t t0 _t
Hosila ta’rifiga ko’ra
limt0 f (t0  _tt)  f (t0)  f (t0).
Demak, s  f (t) funksiyaning t₀ nuqtadagi hosilasi mexanik nuqtai
nazardan s  f (t) qonun bilan harakat qilayotgan moddiy nuqtaning t₀ momentdagi oniy tezligini bildiradi.