Yozgan mavzu: Tartibi pasaytirib yechiladigan differensial tenglamalar

Eyler formulasini tatbiq etsak,

tengliklar hosil bo‘ladi. Ma’lumki, bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham bir jinsli tenglamaning yechimlari bo‘ladi. Shuning uchun

funksiyalar ham (3.3) tenglamaning yechimlari bo‘ladi. Bu yechimlar chiziqli bog‘lanmagan, chunki ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti no‘ldan farqli (tekshirib ko‘ring).
Demak,
(3.8)
(3.3) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.
4-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning ildizlari:

bo‘ladi. Bu ildizlar kompleks qo‘shma bo‘lib uchinchi holga mos keladi. ekanligini hisobga olib (3.8) formulaga asosan umumiy yechim,

bo‘ladi.
Endi ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli tenglama uchun berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topishni, ya’ni Koshi masalasini qaraymiz.
5-misol. differensial tenglamaning bo‘lganda bo‘ladigan xususiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsientli, bir jinsli, chiziqli tenglamadir. Unga mos xarakteristik tenglama

bo‘lib, uning ildizlari bo‘ladi. Demak, tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi. Oxirgi tenglikdan hosila olsak,

bo‘lib , bo‘lganda boshlang‘ich shartlarga asosan,

tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Oxirgi tenglamalar sistemasidan larni aniqlaymiz. Shunday qilib, izlanayotgan xususiy yechim

bo‘ladi.

4. Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari.
Bernulli tenglamasi Darbu Yokobi Rikat tenglamasi va uni yechish
1-ta’rif. Ushbu
(4.1)
Ko’rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi, P(x) va Q(x) lar biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror o’zgarmas haqiqiy son Ravshanki agar bo’lsa, (4.1) tenglamadan
birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi,bu tenglamani I-bobda o’rgangan edik.
Agar bo’lsa, (4.1) tenglamadan
yoki
tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadan iboratdir.
Demak, (4.1) differensial tenglamasida bo’lganda bizga ma’lum differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Endi deb faraz qilamiz.
4.1-teorema. Agar P(x), Q(x) funksiyalar Ix oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa u holda sohaning ixtiyoriy olingan (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) tenglamaning Ix oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’i o’tadi.
Isboti. (4.1) tenglamadan

va bo’lgani uchun bu funksiya D sohada uzluksiz bo’ladi.
Demak, Koshi teoremasiga ko’ra D sohaning ixtiyoriy (x₀;y₀) nuqtasidan (4.1) differensial tenglamaning bitta integral chizig’i o’tadi.
Agar bo’lsa, bo’lganda Bernulli differensial tenglamasining yechimi bo’ladi.Bu xususiy yechimdir.Ammo bo’lganda funksiya y=0 da uzilishga ega va nuqtada yechimning yagonaligi buzulishi mumkin. Ammo bo’lsa, funksiya maxsus yechim bo’ladi ya’ni, ning har bir nuqtasida orqali kamida bitta (ko’rilayotgan holda birdan ortiq ) integral chiziq o’tadi.Buni ko’rsatish uchun avval (1) ni da birinchi tartibli chiziqli tenglamaga keltirib, kvadraturalarda integrallash mumkinligini ko’rsatamiz. deylik. (4.1) tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lamiz.
(4.2)
va
, (4.3)
ko’rinishda almashtirishni bajaramiz. (4.3) ni x ga nisbatan differensiallaymiz:


yoki
(4.4)
(4.3) va (4.4) ga asosan (4.2) ning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
, yoki
(4.5)
(4.5) tenglama esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat.
Shuning uchun buning umumiy yechimi (integrali) quyidagicha bo’ladi.
(4.6)
Endi z dan y ga (2.3) tenglikdan foydalanib qaytsak, bu holda (4.1) Bernulli differensial tenglamasining umumiy integralini hosil qilamiz.
(4.7)
(4.6) tenglikni
z=CA(x)+B(x)
ko’rinishda yozib olaylik, bu yerda A(x), B(x) lar Jx oraliqda uzluksiz funksiyalar. U holda (4.1) ning umumiy yechimi:
agar x=x₀, y=y₀=0 va
bo’lsa, bu formula yordamida ushbu tenglamadan C ning yagona qiymatini topa olamiz, ya’ni
.
Shunday qilib, (x₀;0) nuqtadan

Integral chiziq o’tadi.
ravshanki, bo’lganda (2.1) tenglama
yechimga ega. Bu yechim ham (x₀;0) nuqtadan o’tadigan integral chiziqni ifodalaydi. Demak, Bernulli differensial tenglamasi kvadraturalarda integrallanadi;
2) Benulli differensial tenglamasi
bo’lganda maxsus yechimga ega.
Misol. Bernulli tenglamasini yechishni qaraymiz.
Yechilishi: Misoldan: P(x)=a=const, Q(x)=x, ekanligi ma’lum. Berilgan tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lamiz:
endi eb faraz qilamiz, bu holda , yoki
demak,
yoki bu esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iboratdir, bu yerda
Chiziqli tenglaqmaning umumiy integrali uchun chiqarilgan formulaga ko’ra (I-bobdagi (4.8) formula ):
yoki

Qavs ichidagi integralni bo’laklab integrallaymiz:
bunga asosan esa
bo’ladi, yoki bo’lganligi uchun berilgan tenglamaning umumiy integrali bunday bo’ladi:
shuningdek, yechim, maxsus yechim ekanligini ham eslatib o’tamiz.
Darbu tenglamasi va uni yechish.
Ushbu
M(x)dx+N(x)dy+P(x)(xdy-ydx)=0, (4.8) ko’rinishdagi tenglamani ham Bernulli differensial tenglamasiga keltirish mumkin, agarda M(x) va N(x) funksiyalar bir o’lchovli va P(x) shu yoki boshqa o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa. (4.8) tenglamani ba’zan Darbu tenglamasi deb ham aytiladi.
Faraz qilaylik, M(x) va N(x) ning har biri m-darajali va P(x) esa n-darajali bir jinsli funksiya bo’lsin, ya’ni:

Agar desak, u holda y=xz, bo’lib, berilgan (4.8) tenglamaning ko’inishi bunday bo’ladi:
yoki
yoki
bu esa, Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, bu yerda


Bu tenglama esa, yuqorida (1⁰ nunktda) ko’rsatilgan metod bilan integrallanadi. Albatta integrallashdan so’ng, z ni bilan almashtirish lozimdir.
Misol. Ushbu Darbu tenglamasini integrallang:
,
Yechilishi: Berilgan tenglamada m=3, n=1; shuning uchun deb faraz qilamiz bundan,
demak,
yoki buni x³ ga qisqartirsak, bunday yozish mumkin:
yoki
Bu yerda esa x ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat bo’lib,
bu yerda m=3, n=1 bo’lgani uchun n-m+2=0, ya’ni bo’lib, Bernulli tenglamasi birinchi tartibli chiziqli tenglamadan iborat bo’lgan holdir, endi chiziqli tenglamaning umumiy integralining formulasi bo’yicha ushbuni topamiz:


Bu integralni e’tiborga olib umumiy yechimni topamiz:

bo’lgani uchun
;
natijada esa,
yoki

yoki qaytib z ni bilan almashtirilsa

C₂=const
Yakobi differensial tenglamasi va uni yechish.
yakobi differensial tenglamasi deb ushbu tenglamaga aytiladi:
(4.9)
Bu yerda a,a₁,a₂,b,b₁,b_2,c,c₁,c₂-berilgan o’zgarmas sonlardan iborat
Bu tenglamani 2⁰-punktda o’rganilgan Darbu tenglamasining ko’rinishiga keltirish mumkin. Buning uchun:
, (4.10)
Deb faraz qilamiz, bu yerda noma’lum o’zgarmas sonlar. (4.10) ko’rinishdagi almashtirish natijasida (2.9) tenglamaning ko’rinishi bunday bo’ladi:
(4.11)
bunda
,(4.12)
Endi (2.11) tenglamani bunday yozamiz:
(4.13)
Agar (4.14)
Tengliklar o’rinli deb faraz qilsak, natijada (4.13) tenglama ushbu ko’rinishga keladi:
(4.15)
Bu tenglama esa o’tgan paragrafdagi holdan iboratdir.
Rikkati differensial tenglamasi.
Umumlashgan Rikkati tenglamasi deb ushbu tenglamani aytiladi:
(4.16)
Bunda P, Q, R berilgan bo’lib, ular x ning funksiyalaridan iboratdir.
P=0 bo’lsa, (4.16) tenglamadan

Birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.
Agar R=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:
(4.16) ni quyidagicha yozib olaylik
(4,17)
(4.17) tenglamaning o’ng tomoni
sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib,y bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi,chunki

O’ng tomondagi funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyadan iboratdir. Demak D sohada Koshi teoremasining shartlari o’rinli. D sohaning ixtiyoriy olingan , nuqtasidan Rikkati tenglamasining bitta integral chizig’i o’tadi.
4.2-Teorema. Agar (4.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Isboti. Faraz qilaylik funksiya (4.16) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni:
(4.18)
Ayniyat o’rinli bo’ladi.
Endi y=y₁+z ko’rinishdagi almashtirish bajaramiz:


bo’ladi.
(2.18) tenglikka asosan z no’malumni toppish uchun esa

Tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib, so’ngra
(4.19)
almashtirish bajarsak:

(4.20)
bo’ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali
(4.21)
ko’rinishda bo’ladi. Endi eski o’zgaruvchiga
tenglik orqali qaytsak, (4.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

1. Misol. tenglama Rikkati differensial tenglamasi bo’lib, uning xususiy yechimini ko’rinishda izlash maqsadga muvofiqdir. Bundan

Bundan ekanligi kelib chiqadi. Ravshanki

Ham berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.
Agar ni olsak, u holda

Almashtirish bajarib, tegishli Bernulli tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.
Endi desak, tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi:
ko’rinishda bo’lib,
Almashtirishlar yordamida berilgan Rikkati tenglamasining umumiy yechimi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
(C=const)
2-misol. tenglama Rikkati tenglamasining tipidan bo’lib, bunda

da aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.
funksiya tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Shuning uchun,

Almashtirish bajarsak,bundan

Bularni berilgan tenglamaga qo`yilsa , ushbu Bernulli tenglamasini hosil qilamiz :

Bu tenglamani integrallash uchun ikkala tomonini z ga bo`lib , so`ngra

deb faraz qilamiz , bundan ushbu chiziqli tenglamani hosil qilamiz ;

Bu tenglamaning umumiy yechimi esa

bo`ladi.

bo`lgani uchun

bundan
, (C=const)
Berilgan tenglamaning umumiy integrali shuning o`zi bo`lib, u ixtiyoriy o`zgarmasga nisbatan chiziqli ratsional funksiyadan iboratdir.
Arqonning sirpanishi haqidagi masala.
Masala. Arqon stol ustida yotibdi, uning uchlaridan biri stol ustidan a masofada bo`lgan silliq bilok orqali o`tgazilgan. Boshlang`ich momentda 2a uzunlikdagi arqon bo`lagi blokning narigi tomonida erkin osilib turibdi. Arqonning bu uchining harakat tezligi v ni s yo`lga bog`liq ravishda toping, bunday harakatda ishqalanish qarshiligi tezlik kvadratiga teng deb qabul qilinadi.

Yechilishi: Agar blokni yo`lning sanoq boshi sifatida tanlab olsak va Os o`qni pastga yo`naltirsak, Nyutonning ikkinchi qonuni m bizning holda ushbu differinsial tenglamaga olib keladi :

Bu yerda g-og`irlik kuchi tezlanishi .

Bo’lgani uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin :

Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir.

, ,
Almashtirishni bajarsak, oxirgi tenglama quyidagi ko`rinishdagi chiziqli tenglamaga keladi;
.
Bu tenglamaning umumiy yechimi tenglama bo`yicha topamiz;
Z= =
=
S=2a da v=0 boshlang`ich shartdan C=-4g ni topamiz, natijada xususiy integral ushbu ko`rinishda bo`ladi:
.
Qavis ichidagi ifodani ko`paytuvchilarga ajratish mumkin;

= .
Shunday qilib , v ni s ga bog`liq holda hosil qilamiz:
.
Harakat tekis tezlanuvchan ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun hosil qilingan tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko`taramiz va t bo`yicha diferensiallaymiz. Natijada
,
Biroq va
Shuning uchun
,
Shuni isbot qilish kerak edi.

XULOSA
Men ushbu kurs ishini tayyorlash jarayonida dastlab shu mavzuga oid adabiyotlar, manbalar tayyorladim. Oddiy diferensial tenglamalar mavzusiga doir ma`lumotlar bilan tanishib chiqdim, oldin bilmagan mavzuga doir ma’lumotlarni o`rgandim va bilimlarimni mustahkamladim. Tayyorlagan kurs ishim kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan.
Kirish qismida matematika faniga bo‘lgan qiziqishlarini oshirishda, matematik tafakkurlarini o‘stirishda Oddiy diferensial tenglamalar mavzusi katta ahamiyat kasb etgan. Uni o‘rganish, u haqida bilimga ega bo‘lish, tasavvur qila olish, uni mohiyat jihatidan tushunish va amalda qo‘llay olish katta ahamiyatga ega va shu bilan birga, xususiyatlarini o‘rganish va metodikasini ishlab chiqish va uni usullarini ko‘rsatib berish zaruriy talablardan biri hisoblanadi. Ayni shu ahamiyat va zarurat tayyorlangan kurs ishini dolzarbligini belgilaydi.
Birinchi tartibli differensial tenglamalarning muhim sinflaridan biri Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.
Bitiruv malakaviy ishida chiziqli tenglamalarning yechishning Eyler- Bernulli va Lagranj usullari bayon etiladi va bu usullar konkret misollarni yechishda tadbiq etiladi.
Bernulli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi.
Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish ko`rsatiladi.
Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan fizikayiy masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni yechishi bayon etiladi.