Yozgan mavzu: Tartibi pasaytirib yechiladigan differensial tenglamalar

1.1Differensial tenglamalar haqida boshlangich tushunchalar.
Agar bir noma`lum funksiyani emas, balki bir yo`la bir nechta noma`lum funksiyani topish masalasi qo`yilgan bo`lsa, umuman olganda, masala chekli shartlari tenglamalari ham bir nechta bo`lishi zarur bo`ladi. Agarda masala tenglamalari differensial tenglamalardan iborat bo`lsa, u holda differensial tenglamalar sistemasi haqida gapirish mumkin.
Sistema har bir tenglamasida hosila tartibi 1 dan oshmasa, sistema birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi deb yuritiladi. Ikki noma`lum funksiyali birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi, odatda,

φ( , , ; ) = 0
φ( , , ; ) = 0 (1)

ko`rinishda yoziladi.

Bir tenglama uchun Koshi masalasining qo`yilishi tabiiy ravishda differensial tenglamalar sistemasi uchun umumlashtiriladi. Masalan, (1) sistema uchun Koshi masalasi boshlang`ich , shartlarni qanoatlantiravchi , yechimlarni topishni anglatadi.
Har qanday yuqori tartibli differensial tenglamani yoki tenglamalar sistemasini birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin.
Masalan, y" = f(x, у, у′) tenglamani



y′ = u
u′ = f(x, y, u) sistema bilan almashtirish mumkin.

Massasi m bo’lgan jism boshlang’ich tezlik bilan biror balandlikdan tashlab yuborilgan. Jism tezligining o’zgarish qonunini toping. (1 - rasm)

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko’ra
bu yerda F - jismga ta’sir etayotgan kuchlarning yig’indisi (teng ta’sir etuvchi). Jismga faqat 2 ta kuch ta’sir etsin deb hisoblaylik: havoning qarshilik kuchi F₁=-kv, k>0; yerning tortish kuchi F₂=mg.

1-rasm



F₁=-kv
F₂=mg

Demak, matematik nuqtai nazardan F kuch a) F₂ ga; b) F₁ ga; v) F₁+F₂ ga teng bo’lishi mumkin.

a)Agar F=F₁ bo’lsa, = tenglamaga ega bo’lamiz. Bunda bo’ladi.

b) F=F₂ bo’lsa, U holda birinchi tartibli = differensial tenglamaga egamiz. Bu tenglamani yechimini (c - ixtiyoriy o’zgarmas son) ko’rinishda ekanligini oddiy hisoblarda tekshirish mumkin. bo’lgani uchun bo’lib, u holda izlangan qonun ko’rinishida bo’ladi.

v) F=F₁+F₂ bo’lsin. Bu holda (k>0) tenglamaga kelamiz. Noma’lum funksiyaʋ

ko’rinishida bo’ladi.
ʋ
1 – ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x) funksiya va uning u^', u^'’,.....,u⁽ⁿ⁾ hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi.
Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, u holda differensial tenglama oddiy differensial tenglama, bir nechta o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x₁, x₂,...., x_n) hususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.
3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi.
Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

F ( , )=0 (1.1)

Agar bu tenglamani birinchi tartibli xosilaga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda

=f(x,y) (1.2)

tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, (1.2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. (1.2) tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o’rinli :

Teorema. Agar (1.2) tenglamada f( ) funksiya va undan y bo’yicha olingan
hususiy hosila X0Y tekisligidagi ( ) nuqtani o’z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning shartnii qanoatlantiruvchi birgina y=(x) yechimi mavjud.
x=x₀ da y(x) funksiya y₀ songa teng bo’lishi kerak degan shart boshlang’ich shart deyiladi:

4 – ta’rif. Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb bitta ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
y=(x,с)
funksiyaga aytiladi:
a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy с da qanoatlantiradi;
b) da boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday qiymat topiladiki, y=( ) funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
5 – ta’rif. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi F(x,y,с)=0 tenglik (1.1) differensial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
6 – ta’rif. Ixtiyoriy с - o’zgarmas miqdorda ma’lum qiymat berish natijasida y=(x,с) umumiy yechimdan hosil bo’ladigan har qanday y=( ) funksiya xususiy yechim deyiladi. F( ) - xususiy integral deyiladi.
7-ta’rif. (1.1) differensial tenglama uchun =с=const munosabat bajariladigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan differensial tenglamaning izoklinasi deyiladi.
Yuqori tartibli differensial tenglamalar
Ta’rif. F(x,y,y’,....,y⁽ⁿ⁾)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta
с₁, с₂, .... с_n - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y= (x, с₁, с₂, .... с_n)
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:

1. 
   с₁,...,с_n larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;
   
2. 
   berilgan y(x₀)=y₀, (x₀)=y₁,..., y^(n-1)(x₀)=y_n-1 boshlang’ich shartda с₁, с₂, .... с_n larni shunday tanlash mumkinki,
   

y= (x, с₁, с₂, .... с_n) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif. Umumiy yechimdan с₁, с₂, .... с_n miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo’ladigan funksiya hususiy yechim deyiladi

ko‘rinishdagi differensial tenglamalar
ko‘rinishdagi differensial tenglama ketma-ket marta integrallash bilan uning yechimi topiladi. Har bir integrallashda bittadan ixtiyoriy o‘zgarmas hosil bo‘lib, natijada ta ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liq umumiy yechim hosil bo‘ladi.

1-misol. differensial tenglamaning bo‘lganda bo‘ladigan xususiy yechimini toping.

Yechish. desak, bo‘lib, berilgan tenglama

ko‘rinishda bo‘ladi. Oxirgi tenglamani integralab,

tenglamani hosil qilamiz.
bo‘lganligi uchun

ya’ni,

Oxirgi tenglikni integrallab,

umumiy yechimni olamiz.
Endi berilgan boshlang‘ich shartlarda Koshi masalasini yechamiz: bo‘lganda bo‘lganligi uchun,

Shunday qilib, Koshi masalasining yechimi

bo‘ladi.
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar ko‘rinishdagi differensial tenglama
almashtirish orqali birinchi tartibli differensial tenglamani yechishga keltiriladi.
2-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: bilan almashtirib olsak

birinchi tartibli chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamani yechib:

umumiy yechimni olamiz.


(erkli o‘zgaruvchi oshkor qatnashmagan) bunday differensial tenglamaning umumiy yechimini almashtirish olib, birinchi tartibli tenglamaga keltirib yechim topiladi.

bo‘ladi.
3-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. almashtirish olib, ekanligini hisobga olsak,
tenglama hosil bo‘ladi. Bu birinchi tartibli o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama:
oxirgi tenglamani integrallab,

bundan

bo‘ladi. ni hisobga olsak ,

bo‘ladi.Oxirgi tenglikdan

bo‘ladi.Bu berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.